За едно построение на хипербола и елипса.

[destiny]

Преди да започна изложението по темата искам да поздравя хората създали и поддържащи сайта . Информативността му е направо поразителна

Ще покажем, че всъщност елипсата и хиперболата не са нищо друго освен парабола.

Първо да си припомним какво представляват коничните сечения. За окръжността няма какво да говорим. Мисля, че всеки знае дефиницията за окръжност. Какво представлява параболата? Накратко: нека имаме една права b и точка F не лежаща на b. Тогава множеството от точки в равнината, които се намират на равни разстояния от точката F и правата b образуват парабола. Това най-ясно се вижда от следният чертеж.

Тук |Т1 P1 | = |P1 F|, |Т2 P2 | = |P2 F| и т.н. Като точките P1, P2, .... са от параболата. Как всъщност се построява параболата? Избираме си върху правата b произволна точка T. Свързваме я с F. Издигаме от T перпендикуляр t. Построяваме симетралата s на TF. Пресечната точка на s и t е точка от нашата парабола. Надявам се да съм обяснил достатъчно ясно как се построява парабола. Сега да си зададем следният въпрос: Каква фигура ще получим, ако построим парабола използвайки вместо права b някаква крива например окръжност. Няма да пояснявам какво е разстояние между точка и окръжност, тъй като това се знае от училище. И така нека имаме една окръжност k и точка F лежаща извън k.

Построяваме лъч с начало О и точка М1 като М1 лежи в дъгата MH, където FH е допирателна към k през F. Построяваме H1 на равни разстояния от F и M1 т.е. построяваме точка от парабола с фокус F и спрямо k. Но всъщност лесно се вижда, че H1 е и точка от хипербола, защото каквато и точка Hi да построим (по този начин) ще имаме |OHi| - |HiF| ще е константа. Така построявайки парабола спрямо F и k всъщност построяваме хипербола. Окончателно ще получим:

Аналогично, ако изберем фокусът да лежи вътре в окръжността k и построявайки парабола спрямо този фокус и k то ще получим ... елипса. Така всъщност се оказа, че елипсата и хиперболата са параболи :-). От това просто построение на елипса и хипербола следва, че ако

ние сме наблюдатели намиращи се върху k и направим измервания върху траекторията на дадено тяло и искаме да изчислим траекторията му, ако не вземем предвид кривината на k, то напълно е възможно да получим погрешни изводи за вида на траекторията.

Можете да се опитате да построите елипсата и да намерите лицето й.

http://bgnauka.com/view_mat.php?id=5