Умножение

[Йоанна]

Здравейте на всички!

Всички знаем, че когато умножаваме положително с отрицателно число се получава отрицателно число.

3 * -1 = -3

Което ми е странно, понеже 3 > -1 и то цели 4 пъти Т. е. ти имаш 3 ябълки и ги умножаваш по една ябълка, която нямаш, за да получиш 3 ябълки, които нямаш.... Ако ми следите мисълта...

Или още по-странното:

-3 * -1 = 3

Тоест: Ти нямаш 3 ябълки, които умножаваш по една ябълка, която също нямаш, за да получиш 3 ябълки.

Ако някой може да ми го обясниии

[Б.Богданов]

Отрицателното число не означава да нямаш нещо ...

Нямането може да се оприличи на нула....

. . .

Ако вземем примера, но вместо ябълки използуваме градусите на термометъра, какво ще се получи?

Температурата навън е -1' С. Ако утре температурите се понижат 3 пъти, каква стойност ще имат?

3 * -1 = -3

-3' С

Това помогна ли ти в разсъжденията?

[Йоанна]

Отрицателното число не означава да нямаш нещо ...

Нямането може да се оприличи на нула....

. . .

Ако вземем примера, но вместо ябълки използуваме градусите на термометъра, какво ще се получи?

Температурата навън е -1' С. Ако утре температурите се понижат 3 пъти, каква стойност ще имат?

3 * -1 = -3

-3' С

Това помогна ли ти в разсъжденията?

Ами трудно е да си представиш нещо отрицателно. Все пак мерителните скали за каквото и било са измислени от хора, които са приели дадена точка за начало на, в случая, термометъра. И все пак бихме могли да говорим за относителност на тези стойности, при положение, че ако навън е -3 градъса по Целзии, то па Фаренхайт би било 27.

За това ми е по-лесно изчислението с матерялни неща, които навсякъде са приети за 1 - било то ябълки, круши и прочее.

[Last roman]

Отрицателните числа са условни. Те не означават нещо материално /както се пробваш да го изразиш в ябълки или круши/. Така че няма кой знае каква философия. Просто прилагаш математичните закони /умножене, събиране и пр./ към тях, но с обратен знак.

[Б.Богданов]

***

Просто прилагаш математичните закони /умножене, събиране и пр./ към тях, но с обратен знак.

Даа, много е практично умножението с обратен знак .. особено в Теория на пренормировките.

P.S.

Статия от П.А.Дирак

Колко мразят да смЕтат физиците .. и колко големи мързели са!

на стр. 292

Редактирано Октомври 28, 2011 от Б.Богданов

[Йоанна]

Отрицателните числа са числа от множеството на целите числа (мисля). Различните множества естествени, рационални, ирационални, имагинерни и т.н. числа са в услуга на различни области на математиката, физиката и пр. (все пак живея с инженери...)

Учудващото обаче е, че ако се опиташ да обясниш на третокласник, че можеш да умножиш нещо което нямаш с нещо, което нямаш и да получиш положителен отговор, не срещаш голямо разбиране.

Поставих този пример, понеже събирането и изваждането на положителни с отрицателни числа са някак си логични. Но все още ми е трудно да намеря логика в промяната на знака при умножението и делението

[xyz]

Като умножаваш положително число с отрицателно, то не виждам никакъв проблем.

-1 = значи нямаш една ябълка или имаш една липсваща ябълка.

3*-1 = значи имаш 3 пъти повече или в случая липсват ти 3 пъти повече ябълки -3.

Дотук смятам, че всичко е добре.

Нататък, отрицателно по отрицателно число. Това е вече абстракция. В смисъл, че умножението на отрицателни числа е въведено за да могат да се спазват определени правила, които важат за положителните числа. Това са например дистрибутивния закон (a+b)c=ac+bc. Ето например:

2=1.2=(4-3).(4-2)=4.(4-2)-3.(4-2)=4.4-4.2-3.4+(-3)(-2)=16-8-12+(-3)(-2)=-4+(-3)(-2) (от кое число, като извадиш 4 става 2?)

По подобен начин е състоянието и с -1*3. Не можеш да имаш минус един пъти, но тъй като комутативният закон е в сила за положителните числа ab=ba, затова искаме и за отрицателните да е така: -1*3=3*(-1).

Между другото интересно е, че и при компютрите имаме подобни трикове. Така например допълнителния запис е точно такъв. Числото -1 се представя като 11111111 в двоична система, а числото -2 е 11111110 и така нататък. Това е породено, за да можем да събираме и умножаваме, без използването на допълнителна логика (така да се каже избягваме вариантите +0 и -0, като различни).

[Зитко]

Сега ще ти обясня цялата мистерия - умножението по своята същност представлява събиране, тоест изразът 3 х (-1) може да се запише и така:

3 х (-1) = (-1) + (-1) + (-1)

Дясната страна на горното равенство може да се преобразува по следния начин:

(-1) + (-1) + (-1) = -1 - 1 - 1 = ( -1 - 1 ) - 1

Следователно получаваме, че от -1 трябва да извадим 1, а след това от получения резултат, който е -2, отново да извадим 1, така получаваме - 3

Тези операции, с които ти обясних мистерията, са пример за прост математичеси формализъм, тоест "жонглиране" с математическите символи, за да се илюстрират по-ясно взаимовръзките между разглежданите операции.

Трябва да допълним и за отрицателните числа - те се появяват във връзка с идеята, множеството на реалните числа да се съпоставя с една права линия, т.нар. "числова права" или "числова ос", на която една от точките е приета за "0", посоката надясно е приета за положителна, а наляво - за отрицателна. По този начин всяка точка от числовата права, която се намира отдясно на нулата, се отъждествява с едно положително реално число, което от своя страна има противоположен елемент, намиращ се отляво на нулата, тоест ако с "+а" или просто "а" означим едно положително реално число, на него му съответства отрицателен елемент "-а", който се нарича също и отрицателно число. По този начин вече добиват смисъл и изрази от типа (0 - а), където а е положително реално число, като (0 - а) представлява противоположният на а елемент. Но според установените аритметични правила, операцията "изваждане" може да се представи и като събиране :

a - b = a + (-b)

Тоест, към положителния елемент а се добавя отрицателен елемент (-b), в резултат на което се получава ново число, което стои по-наляво от елемента а, защото такъв е ефектът от отрицателния елемент (-b), тоест "влошава" резултата

Ако приложим математическия формализъм към последнто равенство, получаваме следното:

a - b = (0 + a) - b = (0 + a) + (0 - b) =(0 - b) + (0 + a) = - b + a

Ето такива ми ти трикове

Като за обобщение, при операцията "събиране" може да си мислиш за отрицателните числа като елементи, действащи в посока "наляво" на числовата права, положителните числа пък действат "надясно", тоест резултатът от действието на отрицателните е изместен "наляво", а от действието на положителните е "надясно". Операцията "изваждане" по принцип е обратна на "събиране", но с въвеждане на отрицателните числа и операцията "изваждане" формално може да се представи като събиране: a - b = a + (-b)

Нещо повече, всяка една операция в математика по същество се свежда до събиране - изваждане, умножение, деление, логаритмуване, степенуване, коренуване, диференциране, интегриране...

Затова математиците имат една любима мисъл: "Бог измисли събирането, всичко останало бе дело на човек"

Редактирано Октомври 28, 2011 от Зитко

[Йоанна]

Сега ще ти обясня цялата мистерия - умножението по своята същност представлява събиране, тоест изразът 3 х (-1) може да се запише и така:

3 х (-1) = (-1) + (-1) + (-1)

Дясната страна на горното равенство може да се преобразува по следния начин:

(-1) + (-1) + (-1) = -1 - 1 - 1 = ( -1 - 1 ) - 1

Следователно получаваме, че от -1 трябва да извадим 1, а след това от получения резултат, който е -2, отново да извадим 1, така получаваме - 3

Тези операции, с които ти обясних мистерията, са пример за прост математичеси формализъм, тоест "жонглиране" с математическите символи, за да се илюстрират по-ясно взаимовръзките между разглежданите операции.

Трябва да допълним и за отрицателните числа - те се появяват във връзка с идеята, множеството на реалните числа да се съпоставя с една права линия, т.нар. "числова права" или "числова ос", на която една от точките е приета за "0", посоката надясно е приета за положителна, а наляво - за отрицателна. По този начин всяка точка от числовата права, която се намира отдясно на нулата, се отъждествява с едно положително реално число, което от своя страна има противоположен елемент, намиращ се отляво на нулата, тоест ако с "+а" или просто "а" означим едно положително реално число, на него му съответства отрицателен елемент "-а", който се нарича също и отрицателно число. По този начин вече добиват смисъл и изрази от типа (0 - а), където а е положително реално число, като (0 - а) представлява противоположният на а елемент. Но според установените аритметични правила, операцията "изваждане" може да се представи и като събиране :

a - b = a + (-b)

Тоест, към положителния елемент а се добавя отрицателен елемент (-b), в резултат на което се получава ново число, което стои по-наляво от елемента а, защото такъв е ефектът от отрицателния елемент (-b), тоест "влошава" резултата

Ако приложим математическия формализъм към последнто равенство, получаваме следното:

a - b = (0 + a) - b = (0 + a) + (0 - b) =(0 - b) + (0 + a) = - b + a

Ето такива ми ти трикове

Като за обобщение, при операцията "събиране" може да си мислиш за отрицателните числа като елементи, действащи в посока "наляво" на числовата права, положителните числа пък действат "надясно", тоест резултатът от действието на отрицателните е изместен "наляво", а от действието на положителните е "надясно". Операцията "изваждане" по принцип е обратна на "събиране", но с въвеждане на отрицателните числа и операцията "изваждане" формално може да се представи като събиране: a - b = a + (-b)

Нещо повече, всяка една операция в математика по същество се свежда до събиране - изваждане, умножение, деление, логаритмуване, степенуване, коренуване, диференциране, интегриране...

Затова математиците имат една любима мисъл: "Бог измисли събирането, всичко останало бе дело на човек"

Съдейки по това мога да представя -3 * -3 = (-3)+ (-3) + (-3), нали?

Но в първия случай получавам -3 * -3 = 9,

а във втория (-3) + (-3) + (-3) = -9

Или се бъркам? (Чесно, не знам. Опитах се даже да го смена с елката.. )

[Зитко]

Съдейки по това мога да представя -3 * -3 = (-3)+ (-3) + (-3), нали?

Но в първия случай получавам -3 * -3 = 9,

а във втория (-3) + (-3) + (-3) = -9

Или се бъркам? (Чесно, не знам. Опитах се даже да го смена с елката.. )

Допускаш една грешчица, изразът (-3) х (-3) , може да се представи така :

(-3) х (-3) = - [3 x (-3)] = - [ (-3) + (-3) + (-3)] = -[ -9 ] = 9

С други думи [(-3) х (-3)] не е същото като [3 х (-3)]

За да ти стане още по-ясно, нека приложим математическия формализъм :

(-3) х (-3) = (0 - 3) х (-3) = [0 х (-3)] - [3 х (-3)] = 0 - [ (-3) + (-3) + (-3)] = 0 - [-9] = 0 + 9 = 9

Редактирано Октомври 28, 2011 от Зитко

[Йоанна]

Допускаш една грешчица, изразът (-3) х (-3) , може да се представи така :

(-3) х (-3) = - [3 x (-3)] = - [ (-3) + (-3) + (-3)] = -[ -9 ] = 9

С други думи [(-3) х (-3)] не е същото като [3 х (-3)]

За да ти стане още по-ясно, нека приложим математическия формализъм :

(-3) х (-3) = (0 - 3) х (-3) = [0 х (-3)] - [3 х (-3)] = 0 - [ (-3) + (-3) + (-3)] = 0 - [-9] = 0 + 9 = 9

Да, и като гледам (-3) * (-3) все си е 9.

Но щом като умножението си е събиране по своята същност, питам как така когато събера (-3) при пъти : (-3) + (-3)+ (-3) се получава не 9, а (-9)?!

[Last roman]

щото - х - = +.

[Йоанна]

щото - х - = +.

Добре, ама защо като дефакто трябва да се получи един отговор?! Те тва ми е въпроса

[Зитко]

Да, и като гледам (-3) * (-3) все си е 9.

Но щом като умножението си е събиране по своята същност, питам как така когато събера (-3) при пъти : (-3) + (-3)+ (-3) се получава не 9, а (-9)?!

Елементарно, Уотсън : към (-3) добавяш отрицателния елемент (-3), който измества резултата наляво, тоест получаваме (-6), към което добавяме още един отрицателен елемент (-3), който измества резултата отново наляво и така получаваме (-9). А изразът [(-3) + (-3)+ (-3)] може съкратено да се запише като [3 х (-3)] , такава именно е идеята на умножението, тоест съкратено записване на събирането

Редактирано Октомври 28, 2011 от Зитко

[Йоанна]

Елементарно, Уотсън : към (-3) добавяш отрицателния елемент (-3), който измества резултата наляво, тоест получаваме (-6), към което добавяме още един отрицателен елемент (-3), който измества резултата отново наляво и така получаваме (-9). А изразът [(-3) + (-3)+ (-3)] може съкратено да се запише като [3 х (-3)] , такава е именно идеята на умножениет, тоест съкратено записване на събирането

Сега видях къде бъркам.

[Smart_Patriot]

Левовете са нещо материално:

Иван има -2 лв. (дъжи ги на Петър)

Отрицателното се обяснява с дължене - ще рече, че имаш да даваш, което ти ограбва всяко вземане, по-малко или равно на дължимото!

По нататък вие го домислете, мен не ми се размисля натам. =)