Най- малкото число с еднакви цифри, делящо се на 17

[Little Bad Girl]

Здравейте! Ако бъркам мястото, извинявам се, но съм нова,

Много ви моля помогнете ми за следната задача:

Да се намери най- малкото естествено число, което се дели на 17 и всичките му цифри са еднакви.

Благодаря предварително!

[mitaca]

1 111 111 111 111

1 111 111 111 111/17= 65 359 477 124

Числото трябва да е само от единици, защото всички числа с еднакви цифри различни от единица се делят на числото съставено само от единици. При това положение, опитите (проба-грешка) стават много малко .

[Tyroglyphos]

Числото би трябвало да е 1 111 111 111 111 111 (16 единици). Има една закономерност, не помня как се извеждаше, че на просто число р ≥ 7 (каквото е и 17) се дели числото, съставено от р-1 броя единици (съответно двойки, тройки и т. н.).

Например 111 111 (6 единици) се дели на 7;

1 111 111 111 (10 единици) се дели на 11;

111 111 111 111 (12 единици) се дели на 13;

и т. н.

[Little Bad Girl]

Благодаря много! Аз съм в шести клас и също ще ми трябва намиране на корен квадратен ръчно. Ако някой може да ми каже, ще съм много благодарна!

[mitaca]

Числото би трябвало да е 1 111 111 111 111 111 (16 единици). Има една закономерност, не помня как се извеждаше, че на просто число р ≥ 7 (каквото е и 17) се дели числото, съставено от р-1 броя единици (съответно двойки, тройки и т. н.).

Например 111 111 (6 единици) се дели на 7;

1 111 111 111 (10 единици) се дели на 11;

111 111 111 111 (12 единици) се дели на 13;

и т. н.

Не зная за такава закономерност. Въпроса бе за най-малко, при 17 е с 13 единици, при 10 горната 'закономерност' също не работи, защото 111 111/11 дава 10 101

[hristo_serafimov]

Благодаря много! Аз съм в шести клас и също ще ми трябва намиране на корен квадратен ръчно. Ако някой може да ми каже, ще съм много благодарна!

Ето тук и тук е описано

[Tyroglyphos]

Не зная за такава закономерност. Въпроса бе за най-малко, при 17 е с 13 единици, при 10 горната 'закономерност' също не работи, защото 111 111/11 дава 10 101

Числото с 13 единици, което си предложил, обаче не се дели на 17.

А иначе на 11 се делят всички числа с четен брой единици, като резултатът е число, в което се редуват 1 и 0. 1111:11=101; 111111:11=10101 и т. н.

Благодаря много! Аз съм в шести клас и също ще ми трябва намиране на корен квадратен ръчно. Ако някой може да ми каже, ще съм много благодарна!

Странно е, че все още ви учат на такива неща при наличието на електронни калкулатори. На мен намирането на квадратен корен на ръка беше сред любимите ми знания, усвоени в часовете по математика, тогава ми се виждаше направо като магия. Сега ми се вижда чудно защо изобщо сме изучавали този метод - в музикалното училище, където на математиката не се държеше особено, да не кажа изобщо.

Ето как съм го учил аз, почти същото е като описаното в предложените по-горе връзки.

Раздели числото на групи от по две цифри, като започнеш отдясно. Ако броят на цифрите е нечетен, последната, най-лява група, ще е само от една цифра. Броят на групите е равен на броя на цифрите в резултата преди десетичната запетая.

Започваш с първата (най-лявата) група цифри, която разглеждаш като самостоятелно число. Търсиш число, което, повдигнато на квадрат, дава такъв или най-близкия до него по-малък резултат. Това число ти е първата цифра от резултата.

Например имаш 1444; разделяш го на две групи: 14|44. Първата група е 14 - то не е точен квадрат, затова намираш кое число, повдигнато на квадрат, дава най-близък до него по-малък резултат - това е 3 (3х3=9; 4 не става, защото 16 вече е по-голямо от 14); следователно 3 е първата цифра от резултата (да я наречем "a").

Повдигаш полученото число ("а") на квадрат и вадиш този квадрат от числото в първата група. Добавяш към резултата от изваждането следващата група от две цифри.

В разглеждания пример - 3х3=9; 14-9=5. Добавяш 5 към 44 и получаваш 544.

14|44 = 3.

-9

___

~544

След това пак вземаш получения до този момент резултат и го умножаваш по 20; нека наречем този резултат "b".

В нашия пример - 3х20=60.

След това търсиш число от 0 до 9 ("c"), което да отговаря на следното условие: (b+c), умножено по c, да дава най-близък (по-малък) резултат до числото, образувано от остатъка от изваждането и втората група цифри. Това число "с" ти е следващата цифра в квадратния корен, който търсиш. (Ако числото "b" е по-голямо от числото, образувано от остатъка и втората група цифри, в резултата се поставя 0 и се добавя следващата група от две цифри.)

В нашия пример се търси 60 и колко, умножено по колко, дава равен или най-близък резултат до 544.

Започваме да изпробваме:

с 5: 65 х 5 = 325

с 6: 66 х 6 = 396

със 7: 67 х 7 = 469

с 8: 68 х 8 = 544, което съвпада с търсения резултат; следователно втората цифра от търсения квадратен корен е 8 или корен от 1444 е 38.

Тази операция може да се повтаря толкова пъти, колкото е необходимо.

Друг пример с по-голямо число:

55696

Разделяме: 5|56|96

За първата група получаваме 2 (2х2=4)

Вадим 4 от 5 и получаваме 1. Добавяме към 1 втората група 56

~5|56|96 = 2

-4

__

~156

Умножаваме 2 по 20, получава се 40. Сега търсим 40 и колко по колко дава най-близък до 156 резултат.

С 4: 44 х 4 е много (176), опитваме с 3: 43 х 3 = 129, което ни устройва, следователно 3 е втората цифра в резултата.

~5|56|96 = 2..

-4

__

~156 || 2х20=40; 43х3=129

Записваме 3 като втора цифра от резултата; вадим 129 от 156 и получаваме 27, към което добавяме третата група цифри 96 и получаваме 2796.

~5|56|96 = 23.

-4

__

~156 || 2х20=40; 43х3=129

-129

____

~ 27 96

Умножаваме получения досега резултат 23 по 20 - става 460. Търсим 460 и колко по колко дава резултат, най-близък до 2796.

465х5 = 2325

466х6 = 2796, т. е. 6 ни е третата цифра от квадратния корен.

Правилото важи и ако търсеният квадратен корен не е цяло число, просто продължаваме с пресмятането.

Например да вземем 55698. Пресмятанията първоначално вървят по същия начин както при 55696.

Разделяме: 5|56|98

За първата група получаваме 2 (2х2=4)

Вадим 4 от 5 и получаваме 1. Добавяме към 1 втората група 56

~5|56|98 = 2

-4

__

~156

Умножаваме 2 по 20, получава се 40. Сега търсим 40 и колко по колко дава най-близък до 156 резултат.

С 4: 44 х 4 е много (176), опитваме с 3: 43 х 3 = 129, което ни устройва, следователно 3 е втората цифра в резултата.

~5|56|98 = 2..

-4

__

~156 || 2х20=40; 43х3=129

Записваме 3 като втора цифра от резултата; вадим 129 от 156 и получаваме 27, към което добавяме третата група цифри 98 и получаваме 2798.

~5|56|98 = 23.

-4

__

~156 || 2х20=40; 43х3=129

-129

____

~ 27 98

Умножаваме получения досега резултат 23 по 20 - става 460. Търсим 460 и колко по колко дава резултат, най-близък до 2798.

Пробваме с 5: 465х5 = 2325, което е малко.

С 6: 466х6 = 2796, което е съвсем близко, т. е. 6 ни е третата цифра от квадратния корен. Тъй като резултатът не е точен, поставяме след 6 десетична запетая и продължаваме нататък.

Вадим 2796 от 2798, остатъкът е 2. Тъй като нямаме вече група цифри, добавяме към него 00 (тъй като 55698 е равно на 55698,00)

~5|56|98 = 236,.

-4

__

~1 56 || 2х20=40; 43х3=129

-1 29

____

~ 27 98 || 23х20=460; 466х6 = 2796

~-27 96

____

~ ~ ~ 200

Умножаваме 236 по 20 и се получава 4720; очевидно то е по-голямо от полученото 200, затова пишем в резултата 0 и продължаваме с изчисленията (0, защото най-близко до 200 е 4720х0=0).

~5|56|98 = 236,0.

-4

__

~1 56 || 2х20=40; 43х3=129

-1 29

____

~ 27 98 || 23х20=460; 466х6 = 2796

~-27 96

____

~ ~ ~ 200 || 236х20=4720; по-голямо от 200, затова 4720х0=0

Продължаваме:

~5|56|98 = 236,00.

-4

__

~1 56 || 2х20=40; 43х3=129

-1 29

____

~ 27 98 || 23х20=460; 466х6 = 2796

~-27 96

____

~ ~ ~ 200 || 236х20=4720; по-голямо от 200, затова 4720х0=0

____

~ ~ ~ 20000 || 2360х20=47200; отново е по-голямо от 20000, пак пишем 0 в резултата и продължаваме

____

~ ~ ~ 2000000 || 23600х20=472000; 472004х4=1888016; значи следващата цифра в резултата е 4: 236,004.

Нататък:

~20000 00 || 23600х20=472000; 472004х4=1888016

-1888016

____

~ 111984 00|| 236004x20=4720080; 4720082x2=9440164, значи следващата цифра в резултата е 2: 236,0042.

Можем да продължим по-нататък или - което е по-разумно - да се задоволим с отговора до четвъртия знак след десетичната запетая. Корен от 55698 ~ 236,0042

[Little Bad Girl]

Много благодаря! Тези начини са чудесни и наистина ми свършиха работа. Аз уча в математическа гимназия, но геометричните задачи не са ми в кръвта . Предпочитам уравнения, степени и други. Извинявам се ако ставам досадна, но бихте ли ми помогнали за следната задача:

Две от измеренията на паралелепипед са 70 см и 42 см. Да се определи третото измерение. Обемът на паралелепипедът на е равен на обемът на куб в куб.см и да се намери дължината на ръба на този куб.

Ще съм ви много благодарна

[hristo_serafimov]

Малко съм позабравил материала, но ще опитам да ти помогна

70 = 7 * 5 * 2

42 = 7 * 3 * 2

трето измерение = а

Ако приемем, че пералелепипеда е правоъгълен, то обема му е произведението от измеренията му.

V₁ = 70 * 42 * а = 7² * 5 * 3 * 2² * a

И той трябва да е равен на обема на куб със страна х.

V₂ = x³

т.е.

V₁ = V₂

7² * 5 * 3 * 2² * a = x³

Най-малката целочислена възможна стойност за а е

а = 7 * 5² * 3² * 2

При такова а получаваме:

7³ * 5³ * 3³ * 2³ = x³

Или за страната на куба получаваме:

х = 7 * 5 * 3 * 2

Възможно да има и друго решение, но предполагам, че това е правилното, освен, ако няма нещо пропуснато в условието.

Ако има и друго решение, някой ще ме поправи.

[Little Bad Girl]

Благодаря много!

[Little Bad Girl]

Малко съм позабравил материала, но ще опитам да ти помогна

70 = 7 * 5 * 2

42 = 7 * 3 * 2

трето измерение = а

Ако приемем, че пералелепипеда е правоъгълен, то обема му е произведението от измеренията му.

V₁ = 70 * 42 * а = 7² * 5 * 3 * 2² * a

И той трябва да е равен на обема на куб със страна х.

V₂ = x³

т.е.

V₁ = V₂

7² * 5 * 3 * 2² * a = x³

Най-малката целочислена възможна стойност за а е

а = 7 * 5² * 3² * 2

При такова а получаваме:

7³ * 5³ * 3³ * 2³ = x³

Или за страната на куба получаваме:

х = 7 * 5 * 3 * 2

Възможно да има и друго решение, но предполагам, че това е правилното, освен, ако няма нещо пропуснато в условието.

Ако има и друго решение, някой ще ме поправи.

всъщност решението е вярно, защото аз пропуснах да кажа, че паралелепипедът наистина е правоъгълен.

[xyz]

Числото би трябвало да е 1 111 111 111 111 111 (16 единици). Има една закономерност, не помня как се извеждаше, че на просто число р ≥ 7 (каквото е и 17) се дели числото, съставено от р-1 броя единици (съответно двойки, тройки и т. н.).

Например 111 111 (6 единици) се дели на 7;

1 111 111 111 (10 единици) се дели на 11;

111 111 111 111 (12 единици) се дели на 13;

и т. н.

Закономерността за която говориш се нарича малката теорема на Ферма и гласи следното:

>За всяко просто число p и число n неделящо се на p е изпълнено: n^p-1 се дели на p.

В конкретният случай имаме това:

10^16-1=9999999999999999 се дели на 17

Взимайки забележката на mitaca горното дава:

1111111111111111 се дели на 17.

За да сме сигурни, че няма по-малко число (както беше демонстрирано в случая p=11), то трябва да проверим, че:

1111 не се дели на 17

Това е достатъчно, защото:

НОД(число от u броя единици,число от v броя единици)=число от НОД(u,v) броя единици.

Горното е тривиално твърдение и се доказва почти директно с алгоритъма на Евклид.

Така ако число то u броя единици (u<16) се дели на 17, тогава НОД(u,16)>1!

[mitaca]

Числото с 13 единици, което си предложил, обаче не се дели на 17.

А иначе на 11 се делят всички числа с четен брой единици, като резултатът е число, в което се редуват 1 и 0. 1111:11=101; 111111:11=10101 и т. н....

Да бе каква съм курабия (както казваше една моя колежка от студентските ми години). Изхвърлих се като..... (ааа това не е за деца, даже писано по научно му ). Най-простата логика казва, че не може число завършващо на 4, умножено по число завършващо на 7 да даде резултат завършващ на 1. Ама така е, като се предоверявам на техниката (3 пъти го проверих, ама на - излъга ме и компа и калкулатора, а аз излъгах аудиторията (т.е. опитах де, добре че има потребители дето разбират повече)) .

Какви неща учите в 6-ти клас бре? Ние коренувахме май в 8-ми? А щерката кога се е научили (и дали се е научила) съм пропуснал.

[Sme6koo]

Може би вече ставам нахална, но може ли някой да ми обясни как точно се решава ребусът тон*тон=картон?

[Tyroglyphos]

Може би вече ставам нахална, но може ли някой да ми обясни как точно се решава ребусът тон*тон=картон?

Задачата, изразена с този ребус, е да намериш трицифрено число, което, повдигнато на квадрат, дава резултат, завършващ със същите три цифри. За целта най-напред виждаш кои едноцифрени числа, повдигнати на квадрат, дават резултат, завършващ на същата цифра.

Такива са 0х0=0, 1х1=1, 5х5=25, 6х6=36.

От тях отхвърляме веднага нулата, защото всяко число, чиято последна цифра е нула, повдигнато на квадрат, дава число, завършващо с две нули (например 10х10=100), а в "тон" цифрите трябва да са различни (логично е, че различните букви представят различни цифри). По подобен начин отхвърляме възможността последната цифра да е 1, тъй като няма двуцифрено число, завършващо на 1, чийто квадрат да завършва със същите две цифри.

Остават 5 и 6.

Най-напред за 5. Квадратът на всички числа, завършващи на 5, завършва на 25. Следователно: ако числото "тон" завършва на 5, числото "картон" ще завършва на 25, т. е. "н" е 5, а "о" е 2 и числото "тон" също завършва на 25. По-нататък - квадратът на всички числа, завършващи на 25, завършва на 625. Следователно, ако числото "тон" завършва на 25, числото "картон" ще завършва на 625, т. е. "т" е 6 и числото "тон" трябва да е 625. Проверяваме колко е 625х625 - резултатът е 390625, което отговаря на условието, тъй като шестте цифри са различни, както "картон" се състои от шест различни букви.

За всеки случай проверяваме и 6, защото задачата би могла да има повече от едно решение. От двуцифрените числа, завършващи на 6, само 76, повдигнато на квадрат, дава резултат, завършващ също на 76: 76х76=5776. Никое трицифрено число, завършващо на 76, обаче не дава резултат, който да ни удовлетворява. Единствено 376х376=141376, но пък в резултата имаме повтаряща се цифра 1, което не съответства на "картон", а примерно на "кал" х "кал" = "туткал".

[Sme6koo]

Задачата, изразена с този ребус, е да намериш трицифрено число, което, повдигнато на квадрат, дава резултат, завършващ със същите три цифри. За целта най-напред виждаш кои едноцифрени числа, повдигнати на квадрат, дават резултат, завършващ на същата цифра.

Такива са 0х0=0, 1х1=1, 5х5=25, 6х6=36.

От тях отхвърляме веднага нулата, защото всяко число, чиято последна цифра е нула, повдигнато на квадрат, дава число, завършващо с две нули (например 10х10=100), а в "тон" цифрите трябва да са различни (логично е, че различните букви представят различни цифри). По подобен начин отхвърляме възможността последната цифра да е 1, тъй като няма двуцифрено число, завършващо на 1, чийто квадрат да завършва със същите две цифри.

Остават 5 и 6.

Най-напред за 5. Квадратът на всички числа, завършващи на 5, завършва на 25. Следователно: ако числото "тон" завършва на 5, числото "картон" ще завършва на 25, т. е. "н" е 5, а "о" е 2 и числото "тон" също завършва на 25. По-нататък - квадратът на всички числа, завършващи на 25, завършва на 625. Следователно, ако числото "тон" завършва на 25, числото "картон" ще завършва на 625, т. е. "т" е 6 и числото "тон" трябва да е 625. Проверяваме колко е 625х625 - резултатът е 390625, което отговаря на условието, тъй като шестте цифри са различни, както "картон" се състои от шест различни букви.

За всеки случай проверяваме и 6, защото задачата би могла да има повече от едно решение. От двуцифрените числа, завършващи на 6, само 76, повдигнато на квадрат, дава резултат, завършващ също на 76: 76х76=5776. Никое трицифрено число, завършващо на 76, обаче не дава резултат, който да ни удовлетворява. Единствено 376х376=141376, но пък в резултата имаме повтаряща се цифра 1, което не съответства на "картон", а примерно на "кал" х "кал" = "туткал".

Благодаря много!