Въпрос относно скоростта на светлината

[Станислав Янков]

Преди 53 минути, scaner said:

Добре де, съвсем се оплетохме в терминологията Имам пред вид сфера с 3-мерна повърхност в 4d, чието сечение с нашето тримерно пространство дава балонът - сфера с двумерна повърност в 3d.

Предполагам, че по-удобно за показване ще бъде да уточним, че четиримерното кълбо ще бъде обичайно тримерно кълбо, ако заменим една от осите х, у или z със w. Няма никакъв проблем за това, защото w трябва да е перпендикулярна спрямо всяка от х, у или z и спокойно може да я замени като трето пространствено измерение (заменената друга координата така ще е четвърто измерение на мястото на w). По този начин ще се дава, как кълбо от x,y,w навлиза във и излиза от x,y,z (и в двете то ще е нормално тримерно кълбо според тримерното възприятие, но ще се знае, че реално x,y,z и w са свързани заедно, действат съвместно и всъщност става дума за хиперсфера ли, хиперкълбо ли, което ние не сме в състояние да възприемем в пълната му четиримерна форма).

Редактирано Октомври 17, 2021 от Станислав Янков

[tantin]

Преди 4 часа, scaner said:

Добре де, съвсем се оплетохме в терминологията Имам пред вид сфера с 3-мерна повърхност в 4d, чието сечение с нашето тримерно пространство дава балонът - сфера с двумерна повърност в 3d.

Проблема ни е само и единствено визуализацията, това как да си го представим.

Ако напишем координатите на всяка точка ( x,y,z,w) за |R|=1 - не е никакъв проблем да изчислим дали една точка лежи на тази 4д сфера или не.

След като имаме математическия модел - генерираме множеството от точки. В картинката горе има представени 20000 точки (случайни). Можем да направим няколко визуализации в 3д. Всяка една точка я асоциираме с цвят. Цветовата подредба се изменя при избор на различни координатни оси. Погледни файла html и виж какво се получава в центъра на сферата.

[tantin]

Преди 6 часа, scaner said:

Никаква периодичност в тези сечения няма да има, същото е и за хиперсферата. Може би тук обърква терминологията, сечение и 3-проекция.

Да ги наречем че са псевдо-сечения. Периодичност има, и това е нещо като винт. Представи си най-обикновент винт, спирала. На тази спирала и придаваме вид на сфера. В момента в който стигнеш горния край започваш да се връщаш наново по спирални равнини до долния край.

[scaner]

Преди 25 минути, tantin said:

Проблема ни е само и единствено визуализацията, това как да си го представим.

Ако напишем координатите на всяка точка ( x,y,z,w) за |R|=1 - не е никакъв проблем да изчислим дали една точка лежи на тази 4д сфера или не.

След като имаме математическия модел - генерираме множеството от точки. В картинката горе има представени 20000 точки (случайни). Можем да направим няколко визуализации в 3д. Всяка една точка я асоциираме с цвят. Цветовата подредба се изменя при избор на различни координатни оси. Погледни файла html и виж какво се получава в центъра на сферата.

Погледнах, но не разбирам от какъв зор са цветовете на тези точки.

Нещата са много по-прости. Ей на, сам пишеш уравнението на 4-сферата:

X^2 + Y^2 + Z^2 + D^2 = R^2

По условие е ясно, че само за |D| < R ще имаме реални стойности за X,Y,Z, т.е. сферата ще пресича 3-мерното пространство определено от X,Y,Z и ще се изразява с реални координати. За всички останали значения сферата няма да има допирни точки в това пространство, никакви следи от нея няма да са наблюдаеми.

Когат сферата пресича тримерното пространство, можем да напишем:

X^2 + Y^2 + Z^2 = R^2 - D^2 = R'^2

което е класическо уравнение на сфера в тримерното пространство, където R'  е радиусът на тази сфера.  Тоест в зависимост от параметърът D ще имаме сфера в тримерното пространство с радиус вариращ от 0 до R, 0 <= R' <= R.

За какво ни е цветова подредба на точките, за да стигнем до този прост извод и да си го представим? Сфера лесно се представя, един сапунен мехур. Защо да усложняваме нещата?

И никаква периодичност не следва от горната математика.

[tantin]

Преди 8 минути, scaner said:

Когат сферата пресича тримерното пространство, можем да напишем:

X^2 + Y^2 + Z^2 = R^2 - D^2 = R'^2

което е класическо уравнение на сфера в тримерното пространство, където R'  е радиусът на тази сфера.  Тоест в зависимост от параметърът D ще имаме сфера в тримерното пространство с радиус вариращ от 0 до R, 0 <= R' <= R.

За какво ни е цветова подредба на точките, за да стигнем до този прост извод и да си го представим? Сфера лесно се представя, един сапунен мехур. Защо да усложняваме нещата?

И никаква периодичност не следва от горната математика.

 

Така е.  При някакви |R| = const - сечението на 4Д сферата с равнината (в 3Д) е равнозначно на 3Д сфера. Но нали целта е да видим как ще се изменя 3Д сферата с изменението на w.  Това което ще наблюдаваме е увеличаването и намаляването на радиуса на 3Д сферата по някакви закони , между 0 и R.   Съответно на всяка тоячка от 4Д пространството задаваме различен цвят и гледаме къде ще се проектира в 3Д равнините (да речем че е при пресичане или проектиране).

В зависимост от начина на визуализация: избор на х, у,з или х,у,w или у,z,w - цветовата подредба се получава по различен начин. Това е идеята на ползването на цветовете. Аз мога да ти избера такава подредба на множеството (x,y,z,w) при която ще обходиш всичките точки на 4Д сферата и при която ще имаш много строга математическа последователност във всяка една от координатните оси.

[tantin]

Виж колко красиво се получава с цветовете:

Всеки цвят може да го разглеждаш като отделна проекция (сечение) за дадена стойност на W.

[Станислав Янков]

По принцип могат да се откроят два начина на разсъждение относно преходи между 3 и 4 пространствени измерения:

1) Ако четвъртото измерение е разгънато като останалите три и има в него хиперкълбо (хиперсфера?) с доста по-малък размер от този на измерението - ще има достатъчно пространство в четвъртото пространствено измерение. Затова, когато имаме четиримерно кълбо, хиперкълбо (хиперсфера?), което се представя като тримерно кълбо в координатната система x,y,z и пак като тримерно кълбо в кординатната система x,y,w - когато това кълбо прави преходи между двете координатни системи (това са две различни тримерни координатни системи, макар да представят една съвкупна координатна система x,y,z,w, която не сме в състояние да възприемем), то паралелно, като при преливането на пясъка в един пясъчен часовник от едната му част в другата част, кълбото докато намалява в едната координатна система, същевременно ще се увеличава в другата координатна система, докато не се пренесе изцяло в другата координатна система. След това обратно ще започне да намалява във втората координатна система и едновременно да се увеличава в първата координатна система, докато не се върне отново изцяло в първата. Един вид, частта на четиримерното кълбо, която се възприема само като тримерно кълбо, ще си носи навсякъде със себе си трите измерения, докато се движи в четвъртото измерение и ту се появява, ту изчезва в едно или в друго триизмерно пространство, съставено от която и да било тройка от x,y,z и w.

2) Ако дадена триизмерна пространствена форма (кълбо в случая) не може пълноценно да се движи в четвъртото пространствено измерение, тя би могла да пренася в четвъртото пространствено измерение w само едно от трите си измерения и при това положение в измерението w едно такава ограничено триизмерно кълбо би представлявало само чертичка (диаметъра). При координатната система x,y,z докато протича прехода към едното измерение във w (чертичката във w), триизмерното кълбо постепенно ще се превръща в двуизмерен кръг, докто в края на прехода чертата му във w ще достигне диаметъра на кълбото в x,y,z, а в самата x,y,z ще е останал само двуизмерен кръг с диаметъра на кълбото отпреди стартирането на преноса.

[tantin]

Ето още един примери за проекция от 4Д в 3Д:

 

Взимаме точки от 4Д повърността и ги проектираме според стойностите им в 3Д. Лявата страна е по Х,У и Z, а в дясно са по W,X,Y.

Много добре виждате - това което е сфера в 4Д не е непременно сфера в 3Д.  Възможно е 4Д сферата при подходящ избор на точките да се проектира в друга форма, обаче каквато ще да е формата - тя ще се впише в сфера с радиус R. Повърхнината от 4Д се трансформира във вътрешни усукани повърхнини - които може да имат различна форма според избора на подредбата. В случая от лявата страна се получава подобие на винт.

 

[scaner]

Преди 12 минути, tantin said:

Взимаме точки от 4Д повърността и ги проектираме според стойностите им в 3Д. Лявата страна е по Х,У и Z, а в дясно са по W,X,Y.

Много добре виждате - това което е сфера в 4Д не е непременно сфера в 3Д.  Възможно е 4Д сферата при подходящ избор на точките да се проектира в друга форма, обаче каквато ще да е формата - тя ще се впише в сфера с радиус R. Повърхнината от 4Д се трансформира във вътрешни усукани повърхнини - които може да имат различна форма според избора на подредбата. В случая от лявата страна се получава подобие на винт

А трябва да е сфера в 3D - според математическата формула, която обсъдихме по-горе. Става дума за подчертаното.

Как от математическата формула ще се получи лявата страна - подобие на винт, че не го виждам? Ако не е от математиката, от къде се взема картинката тогава?

[gmladenov]

Преди 17 минути, tantin said:

Много добре виждате - това което е сфера в 4Д не е непременно сфера в 3Д. 

А онзи ден ни убеждаваше, че 3Д проекцията на 4Д сфера пак била сфера.
Браво, напредваш.

[Станислав Янков]

Преди 34 минути, tantin said:

Ето още един примери за проекция от 4Д в 3Д:

 

Взимаме точки от 4Д повърността и ги проектираме според стойностите им в 3Д. Лявата страна е по Х,У и Z, а в дясно са по W,X,Y.

Много добре виждате - това което е сфера в 4Д не е непременно сфера в 3Д.  Възможно е 4Д сферата при подходящ избор на точките да се проектира в друга форма, обаче каквато ще да е формата - тя ще се впише в сфера с радиус R. Повърхнината от 4Д се трансформира във вътрешни усукани повърхнини - които може да имат различна форма според избора на подредбата. В случая от лявата страна се получава подобие на винт.

 

Би трябвало да е кълбо и в x,y,z и в x,y,w, само трябва да има преливане на размера на кълбото между двете координатни системи от 0 до 100 % и обратно (както се прелива пясък на пясъчен часовник от едната му част в другата му част), като са възможни и по-сложни варианти на поведение заедно с това преливане (но без да се нарушава формата на кълбото). Не би било кълбо само в цялостна координатна система x,y,z,w, която ние не сме в състояние да си представим, защото едновременно w трябва да е перпендикулярна на всяка от трите x, y и z и заедно с това триизмерното кълбо трябва да се превърти на 180 градуса около новия диаметър в четвъртото измерение, чиято среда трябва да е в същата точка, в която са и средите на диаметрите на трите измерения от преди четвъртото. Всичкото това е непредставимо за нас в момента, точно което налага и общата координатна система x,y,z,w да се представя като две различни триизмерни координатни системи, макар да знаем, че всичките четири координати са свързани чрез общата им точка и взаимната им перпендикулярност.

Редактирано Октомври 17, 2021 от Станислав Янков

[tantin]

Преди 12 минути, scaner said:

А трябва да е сфера в 3D - според математическата формула, която обсъдихме по-горе. Става дума за подчертаното.

Как от математическата формула ще се получи лявата страна - подобие на винт, че не го виждам? Ако не е от математиката, от къде се взема картинката тогава?

формулата я знаеш:  X^2 + Y^2 + Z^2 + D^2 = r^2

Всяка точка която отговаря на това условие е част от повърхността на 4Д-сферата с център 0  (0,0,0,0)и радиус r.

Давам ти формула по която можем да получаваме колкото си искаме точки от 4-Д сферата:

Да речем че отместването е нулево, тоест център 0  (0,0,0,0).

Формулата е следната:

x =  r*cos(psi)*cos(theta)*cos(phi)
y =  r*cos(psi)*cos(theta)*sin(phi)
z =  r*cos(psi)*sin(theta)
w =  r*sin(psi)

Няма нужда да ви доказвам че в дадената тук формула X^2 + Y^2 + Z^2 + w^2 = r^2

Всеки ученик от 5-6 клас може да го докаже.   Тази формула е вярна за всеки ъгъл: пси, тета и фи. Генерирате си стойности на ъглите и получавате точки от 4Д повърхността.  Ако искате да изключите 4-тата компонента, слагате пси=0  и сте изцяло в 3Д пространството без никаква 4-та компонента.  Но нашата цел не е да изключим 4-тата компонента изцяло, а точно обратното - да видим как 4-тата компонента влияе на проекциите на 4-Д пространството в 3Д.

С така генерирания набор от точки за х,у,з и w правим оцветявания и визуализации така както ние решим.  Точките си имат твърдо зададени координати в 4Д.  А като им добавим цвят и като ги проектираме в 3Д ще се види много добре къде отиват тези точки, в коя част на 3Д формата ще се материализират.

Редактирано Октомври 17, 2021 от tantin

[tantin]

Преди 16 минути, scaner said:

А трябва да е сфера в 3D - според математическата формула, която обсъдихме по-горе. Става дума за подчертаното.

Как от математическата формула ще се получи лявата страна - подобие на винт, че не го виждам? Ако не е от математиката, от къде се взема картинката тогава?

 

Преди 11 минути, gmladenov said:

А онзи ден ни убеждаваше, че 3Д проекцията на 4Д сфера пак била сфера.
Браво, напредваш.

Обвивката в 3Д задължително е сфера. Това вече го споменах.  Но формата на проекцията не е задължително да е сфера. Може да са тези винто-образни плоскостни елементи, може да са някакви вътрешни елипсовидни повърхности и подобно.  И аз се учудих какви интересни форми се получиха след като пуснах програмата за визуализация. Математически казано: проекцията на 4Д в 3Д е вписана в сфера с радиус R. Но формата на тази проекция зависи изцяло от избора на точките в 4Д.   Ако пожелаем можем да проектираме 4Д сфера в куб..  Никакъв проблем няма с това.

[Станислав Янков]

On 12.10.2021 г. at 20:46, tantin said:

В това видео се обсъждат релативистични ефекти при движение на зарядите.  За да разбереш същността на електричеството и магнетизма не ти е нужно да вкарваш усложняващи движения.  Веднъж като схванеш същността на електричеството и магнетизма, СТО и движенията са до голяма степен следсвтия, изведени през законите на Максуел.  

За по-просто - в това движение на елетромагнитната вълна - с е константата, а времето T e функция на с.   

Между другото - ето още една възможност за подозрение за повече от три пространствени измерения: ЕМВ представлява едновременни (не редуващи се, което изглежда по-логичното на пръв поглед) пикове и спадове до 0 на електрическото и на магнитното поле на вълната. Да, ама ако нещо стане 0 - това означава, че то е изчезнало изцяло (от нашето четиримерно пространство-време) и с това трябваше да приключи и съществуването на вълната. Обаче вълната спокойно може да си продължи да си съществува, ако спадовете на нейното електрично и магнитно поле след максимумите не са просто изчезването им, а са прехвърлянето им в едно или повече допълнителни пространствени измерения над трите. При спадовете електрическото и магнитното поле на вълната се прехвърлят "другаде", след което отново се връщат в x,y,z за следващите масимуми.

[scaner]

Преди 21 минути, tantin said:

Давам ти формула по която можем да получаваме колкото си искаме точки от 4-Д сферата:

Да речем че отместването е нулево, тоест център 0  (0,0,0,0).

Формулата е следната:

x =  r*cos(psi)*cos(theta)*cos(phi)
y =  r*cos(psi)*cos(theta)*sin(phi)
z =  r*cos(psi)*sin(theta)
w =  r*sin(psi)

Няма нужда да ви доказвам че в дадената тук формула X^2 + Y^2 + Z^2 + w^2 = r^2

А за какво ми е полярната координатна система? И декартовата ми върши прекрасна работа. Дай да не си усложняваме живота, а?

Преди 21 минути, tantin said:

Всеки ученик от 5-6 клас може да го докаже.   Тази формула е вярна за всеки ъгъл: пси, тета и фи. Генерирате си стойности на ъглите и получавате точки от 4Д повърхността.  Ако искате да изключите 4-тата компонента, слагате пси=0  и сте изцяло в 3Д пространството без никаква 4-та компонента.  Но нашата цел не е да изключим 4-тата компонента изцяло, а точно обратното - да видим как 4-тата компонента влияе на проекциите на 4-Д пространството в 3Д.

С декартовите координати е още по-лесно. Изключването на 4-тата компонента става с полагането W=const (с което разпъваме 3-мерното пространство, в което ни интересува сечението, на координаата W=const), и имаме уравнение на повърхнина в тримерното пространство, която по всички свойства е сфера, а нейният радиус ще зависи от избраната стойност на const. И опираме до уравнението на сферата от по-предния коментар. Затова и идеята ми беше да не нагазваме в полярните координати - колкото е по-сложно, толкова вероятността за неконтролируеми грешки е по-голяма

Преди 21 минути, tantin said:

С така генерирания набор от точки за х,у,з и w правим оцветявания и визуализации така както ние решим.  Точките си имат твърдо зададени координати в 4Д.  А като им добавим цвят и като ги проектираме в 3Д ще се види много добре къде отиват тези точки, в коя част на 3Д формата ще се материализират

Пак усложняваш нещата. А критерият за оцветяване какъв е? И защо трябва да ги оцветяваме изобщо, след като всички точки от резултата са от една и съща двумерна повърхнина, и тя по решение е само една?

Та, пак въпроса ми: как двумерната сфера като единствено решение ще се превърне във винт? Или това е просто някаква грешка, получена при интерпретацията с полярни координати? Защото от x-y-z формата на решението следва единствено сфера.

Преди 11 минути, tantin said:

Обвивката в 3Д задължително е сфера. Това вече го споменах.  Но формата на проекцията не е задължително да е сфера. Може да са тези винто-образни плоскостни елементи, може да са някакви вътрешни елипсовидни повърхности и подобно.  И аз се учудих какви интересни форми се получиха след като пуснах програмата за визуализация. Математически казано: проекцията на 4Д в 3Д е вписана в сфера с радиус R. Но формата на тази проекция зависи изцяло от избора на точките в 4Д.   Ако пожелаем можем да проектираме 4Д сфера в куб..  Никакъв проблем няма с това.

А сигурен ли си че програмата за визуализация работи коректно? И по-прост въпрос - какво и как се проектира?  В смисъл каква е траекторията на проектиращите лъчи, къде е техният източник? Защото формулата по-горе ни дава сечение на 4-сферата с 3-равнина, грубо казано, и тя е обикновена сфера.

[tantin]

Преди 13 минути, scaner said:

А за какво ми е полярната координатна система? И декартовата ми върши прекрасна работа. Дай да не си усложняваме живота, а?

Нали трябва по някакъв начин да генерираш точките за 4Д?  Имаш ли по-добра идея как да създадеш множество с 20000 точки за които да направим визуализацията?

Преди 13 минути, scaner said:

С декартовите координати е още по-лесно. Изключването на 4-тата компонента става с полагането W=const (с което разпъваме 3-мерното пространство, в което ни интересува сечението, на координаата W=const), и имаме уравнение на повърхнина в тримерното пространство, която по всички свойства е сфера, а нейният радиус ще зависи от избраната стойност на const. И опираме до уравнението на сферата от по-предния коментар. Затова и идеята ми беше да не нагазваме в полярните координати - колкото е по-сложно, толкова вероятността за неконтролируеми грешки е по-голяма

Дай ми конкретен алгоритъм, формулата и аз ще ти я визуализирам на софтуера който ползвам. (R-studio)

Преди 13 минути, scaner said:

Пак усложняваш нещата. А критерият за оцветяване какъв е? И защо трябва да ги оцветяваме изобщо, след като всички точки от резултата са от една и съща двумерна повърхнина, и тя по решение е само една?

Ами аз мога да взема набор от 4Д пространството, избирам си по кои координати да го изобразя и ти го показвам. Само ми дай множеството ти от точки. Мога и всичките само в 1 цвят да ги покажа, но става още по-сложно за разбиране.

Преди 13 минути, scaner said:

Та, пак въпроса ми: как двумерната сфера като единствено решение ще се превърне във винт? Или това е просто някаква грешка, получена при интерпретацията с полярни координати? Защото от x-y-z формата на решението следва единствено сфера.

Защо реши че е двумерна сфера? Двумерната сфера е окръжност?

Сферата в 3Д е само обвивката, в която се проектира конкретното решение за конкретен набор (избор ) на точки.  

Преди 13 минути, scaner said:

А сигурен ли си че програмата за визуализация работи коректно? И по-прост въпрос - какво и как се проектира?  В смисъл каква е траекторията на проектиращите лъчи, къде е техният източник? Защото формулата по-горе ни дава сечение на 4-сферата с 3-равнина, грубо казано, и тя е обикновена сфера.

В програмата за визуализация се ползва 4-мерен масив с координатите по х,у, зет и w. . Ако искаш визуализирай по първите 3, ако искаш си правиш такава комбинация от тях каквато пожелаеш.  Но да речем че първите 3 са симетрични, понеже ние ги асоциираме с реалното пространство около нас.  4-та е иреалната, несъществуващата.  В интерес на истината от математическа гледна точка няма никаква разлика между 4-те.  те са напълно трансформируеми една в друга.  Но ние така или иначе ги асоциираме с познатото ни 3Д пространство.      Нямаш никакъв проблем да ги покажеш в 3Д или в някакви по-особени проекции.  Цветовете помагат за разграничаване на точките.  Нищо повече, дават ни идея кое е до нас или кое е някъде назад в далечината, кое е да речем в центъра или кое е в периферията на сферата.

Редактирано Октомври 17, 2021 от tantin

[scaner]

Преди 20 минути, tantin said:

Нали трябва по някакъв начин да генерираш точките за 4Д?  Имаш ли по-добра идея как да създадеш множество с 20000 точки за които да направим визуализацията?

Ами координатите x,y,z,w се справят прекрасно с това. Още повече, че са свързани с полярните с еднозначна и двупосочна връзка. Пък и началното уравнение е дадено чрез тях, защо да се отклоняваме?

Преди 20 минути, tantin said:

Дай ми конкретен алгоритъм, формулата и аз ще ти я визуализирам на софтуера който ползвам. (R-studio)

Ами формулата на сферата за която говорим: X^2 + Y^2 + Z^2 + D^2 = r^2

Тя налага ограничение върху произволността на координатите x,y,z,d - за всеки три зададени числа например x0,z0,d0 можем да изчислим y0, и така получаваме произволно количество точки с 4 координати, удовлетворяващи урвнението, т.е. намиращи се на 4-сферата. Единственото изискване е и четирите координати да са реални числа. За простота, избирай по случаен начин три от координатите със стойност от 0 до r, и смятай четвъртата от формулата, като игнорираш комплексните резултати. Мога да ти опиша и по-коректен алгоритъм.

Преди 20 минути, tantin said:

Защо реши че е двумерна сфера? Двумерната сфера е окръжност?

Добре де, сфера с двумерна повърхност, обвивката на кълбо в 3-мерното пространство. Каша в терминологията настава...

Преди 20 минути, tantin said:

В програмата за визуализация се ползва 4-мерен масив с координатите по х,у, зет и w. . Ако искаш визуализирай по първите 3, ако искаш си правиш такава комбинация от тях каквато пожелаеш.  Но да речем че първите 3 са симетрични, понеже ние ги асоциираме с реалното пространство около нас.  4-та е иреалната, несъществуващата.  В интерес на истината от математическа гледна точка няма никаква разлика между 4-те.  те са напълно трансформируеми една в друга.  Но ние така или иначе ги асоциираме с познатото ни 3Д пространство.      Нямаш никакъв проблем да ги покажеш в 3Д или в някакви по-особени проекции.  Цветовете помагат за разграничаване на точките.  Нищо повече, дават ни идея кое е до нас или кое е някъде назад в далечината, кое е да речем в центъра или кое е в периферията на сферата.

Нещо се бърка тук. Как от горното уравнение, свеждащо се тривиално до сфера в 3-мерното пространство, може да се получи по-сложна конструкция като винт?

Редактирано Октомври 17, 2021 от scaner

[tantin]

Преди 13 минути, scaner said:

Преди 31 минути, tantin said:

В програмата за визуализация се ползва 4-мерен масив с координатите по х,у, зет и w. . Ако искаш визуализирай по първите 3, ако искаш си правиш такава комбинация от тях каквато пожелаеш.  Но да речем че първите 3 са симетрични, понеже ние ги асоциираме с реалното пространство около нас.  4-та е иреалната, несъществуващата.  В интерес на истината от математическа гледна точка няма никаква разлика между 4-те.  те са напълно трансформируеми една в друга.  Но ние така или иначе ги асоциираме с познатото ни 3Д пространство.      Нямаш никакъв проблем да ги покажеш в 3Д или в някакви по-особени проекции.  Цветовете помагат за разграничаване на точките.  Нищо повече, дават ни идея кое е до нас или кое е някъде назад в далечината, кое е да речем в центъра или кое е в периферията на сферата.

Нещо се бърка тук. Как от горното уравнение, свеждащо се тривиално до сфера в 3-мерното пространство, може да се получи по-сложна конструкция като винт?

Там е работата че при проекция от 4Д в 3Д нямаме тривиална сфера.  При W=0  или W= const - без съмнение ще се получи сфера. 

 Нека да сме генерирали  набор от 4Д стойности за хиперсферата ни.  Приемаме че това множество е статично. ( Няма да добавяме нови координати, няма да променяме съществуващите координати.)

Ясно е че в така дефинирания масив W не е константа.  W си има конкретни  в дадения случай произволно генерирани стойности. Значи в случая проекцията от 4Д към 3Д няма как да се изобрази само и единствено в една  3Д - сфера, а ще се разхвърли върху всичките  концентрични  3Д сфери с център 0,0,0,0.

Ако промяната на W става по някаква математическа или друга по-обща закономерност - то няма никакъв проблем да покажем и как 4Д сферата се трансформира в спираловидна плоскост. Аз вече дадох формулите ( подобно на полярни координати) за една такава транформация. 

[Станислав Янков]

Преди 48 минути, tantin said:

Там е работата че при проекция от 4Д в 3Д нямаме тривиална сфера.  При W=0  или W= const - без съмнение ще се получи сфера. 

 Нека да сме генерирали  набор от 4Д стойности за хиперсферата ни.  Приемаме че това множество е статично. ( Няма да добавяме нови координати, няма да променяме съществуващите координати.)

Ясно е че в така дефинирания масив W не е константа.  W си има конкретни  в дадения случай произволно генерирани стойности. Значи в случая проекцията от 4Д към 3Д няма как да се изобрази само и единствено в една  3Д - сфера, а ще се разхвърли върху всичките  концентрични  3Д сфери с център 0,0,0,0.

Ако промяната на W става по някаква математическа или друга по-обща закономерност - то няма никакъв проблем да покажем и как 4Д сферата се трансформира в спираловидна плоскост. Аз вече дадох формулите ( подобно на полярни координати) за една такава транформация. 

Забележи ясната последователност: Първо имаш точка, която се нарича нула-мерна сфера и това е 0d. Тази точка се явява центъра и от нея се тръгва поравно в двете посоки, при което се получава отсечка, чиито два края са вече две нула-мерни сфери, а самата отсечка е сфера в 1d. Ако изправиш тази отсечка вертикално нагоре, под нея, в 0d, се получава нула-мерната сфера, от която тръгнахме. След това завърташ вертикално изправената отсечка, която вече ще се явява диаметър, около точката в средата ѝ (центъра ѝ) на 180 градуса, с което налагаш втори, перпендикулярен на първия диаметър и получаваш двуизмерен кръг. Виж изображението на този двуизмерен кръг под него, в едното измерение. В 1d двуизмерния кръг се представя отново като линията, която завъртяхме на 180 градуса, за да получим кръга в 2d. Сега отново завърташ на 180 градуса кръга около същия център, който в 0d беше нула-мерната сфера, в 1d беше средата на линията и в 2d беше центъра на кръга. Завърташ по нов перпендикулярен диаметър, чийто център е върху предните центрове и получаваш 3d-кълбото. Виж 2d-изображението под 3d-кълбото. То е кръгът от предходното 2d изображение. Тоест - изображението на 4d-кълбо в 3d e 3d-кълбо.

Редактирано Октомври 17, 2021 от Станислав Янков

[scaner]

Преди 35 минути, tantin said:

Там е работата че при проекция от 4Д в 3Д нямаме тривиална сфера.  При W=0  или W= const - без съмнение ще се получи сфера. 

Ами в картинката тримерното пространство е "равнина" с фиксирано W, W=const. И нас ни интересува всичко, което попада на тази равнина, нищо извън нея не представлява интерес. В това се състои задачата.

Преди 36 минути, tantin said:

да променяме съществуващите координати.)

Ясно е че в така дефинирания масив W не е константа.  W си има конкретни  в дадения случай произволно генерирани стойности. Значи в случая проекцията от 4Д към 3Д няма как да се изобрази само и единствено в една  3Д - сфера, а ще се разхвърли върху всичките  концентрични  3Д сфери с център 0,0,0,0.

Всичко е така, но трябва да намесим в картинката къде е "равнината" на тримерното пространство което ни интересува. И тогава задачата намира тривиалното си решение.

СЪщото е в тримерното пространство. В него може да прекараш безброй много равнини, в зависимост на каква Z разположиш координатната мрежа X-Y. И фиксирайки съответното Z=const, определяме с коя равнина си имаме работа и какво искаме да определим специално за нея. Същото е и с координатата W в 4-мерния случай, тя определя мястото където е разположено интересуващото ни 3-мерно пространство.

Преди 40 минути, tantin said:

Ако промяната на W става по някаква математическа или друга по-обща закономерност - то няма никакъв проблем да покажем и как 4Д сферата се трансформира в спираловидна плоскост. Аз вече дадох формулите ( подобно на полярни координати) за една такава транформация. 

W не трябва да се променя, когато говорим какво се случва в някакво конкретно 3-мерно пространство. Избираме някакво W, и смятаме какво се вижда в 3-мерното пространство. И тогава няма как да се появи спираловидна плоскост.

Може да го смяташ и с полярни координати, но при спазване на условието W=const. Ако сложиш както си избрал psi=0 (тогава автоматично w=const=0), то останалите координати описват сфера - независимо какъв е ъгълът, r=const, това идва от най-първичното уравнение за 4-сферата. Изглежда това пропускаш, от промяната на r се получават тези спираловидни плоскости.

 

[tantin]

Преди 1 час, scaner said:

W не трябва да се променя, когато говорим какво се случва в някакво конкретно 3-мерно пространство. Избираме някакво W, и смятаме какво се вижда в 3-мерното пространство. И тогава няма как да се появи спираловидна плоскост.

Може да го смяташ и с полярни координати, но при спазване на условието W=const. Ако сложиш както си избрал psi=0 (тогава автоматично w=const=0), то останалите координати описват сфера - независимо какъв е ъгълът, r=const, това идва от най-първичното уравнение за 4-сферата. Изглежда това пропускаш, от промяната на r се получават тези спираловидни плоскости.

Имах една грешка при изчисленията,  като я поправих всичко пак се върна към нормалната сфера.  А ето какво се получава при малко по-различни стойности за ъглите:

Да го наречем че това не е пълна проекция, а е частен случай, подмножество на 4Д към 3Д. 

Това го давам само като интересна картинка . По вертикалата на Z съм дал четвъртата компонента ,  цвета се задава от ъгъла на пси. (това не са х, у и зет).

Редактирано Октомври 17, 2021 от tantin

[scaner]

Преди 36 минути, tantin said:

Да го наречем че това не е пълна проекция, а е частен случай, подмножество на 4Д към 3Д. 

Това го давам само като интересна картинка . По вертикалата на Z съм дал четвъртата компонента ,  цвета се задава от ъгъла на пси. (това не са х, у и зет).

Според мен алгоритъмът на избор на точките ти е някакъв особен, избира точките с еднаква стъпка и ги синхронизира, има участъци в които не се избират точки, за това и става винтовата плоскост.

Виж какво се получава от началните ти уравнения:

x =  r*cos(psi)*cos(theta)*cos(phi)
y =  r*cos(psi)*cos(theta)*sin(phi)
z =  r*cos(psi)*sin(theta)
w =  r*sin(psi)

Избираме psi=const така, че sin(psi)=C1=const, cos(psi)=C2=const. Ако в допълнение заместим r.C2=R (=const) в резултат се получава:

x =  R*cos(theta)*cos(phi)
y =  R*cos(theta)*sin(phi)
z =  R*sin(theta)
w =  const

В резултат имаме повърхност описвана с два независиими параметъра, theta и phi, и тази повърхност е параметрично зададена сфера в тримерното пространство по дефиницията за сфера. Третият параметър, psi, само определя радиусът и.

Това което се забелязва е, че радиусът на тази сфера R зависи от параметъра psi, тоест зависи от нивото W на което сме "вдигнали" тримерното пространство за да го съчетаем със хиперсферата. Следствие от това е, че ако въвеждаш оцветяване, чертежът ти трябва да представлява сфера, съставните плоскости на която ще бъдат в различен цвят с промяната на W (psi). От което следва, че винтовата плоскост е само страничен ефект от дискретизаацията, а не реалност.

Според мен, както и да ги оцветиш, ще настане пълна мацаница... Така че оцветяването не е добра идея, а и дава по-малко допълнителна информация към проблема, отколкото скрива. Не е ли по-добре да си разглеждаме сферите нормално, като имаме на ум, че радиусът им зависи от издигането по четвъртото измерение? И така се връщаме на анимацията, която дадох нейде по-горе

[Станислав Янков]

Нека за малко да се върнем към представянето на гравитационното изкривяване на пространство-времето чрез двуизмерната сфера. При двуизмерната Вселена-сфера двуизмерно същественце-правоъгълниче (примерно, защото може да е и квадратче, и кръгче, и всякакви други правилни и неправилни двуизмерни форми) ще се движи по това съвършено-огънато двумерно пространство, плюс трето измерение-време, с постоянно ускорение по инерция (на него ще му се струва, че се движи по плоско двуизмерно пространство, но с ускорение, без да разходва за това никаква енергия). И ако няма ограничение до скоростта на светлината - при такава съвършена Вселена-сфера съществото-правоъгълниче ще се движи с ускорение по инерция вечно.

В нашата триизмерна Вселена, обаче, имаме не само движение с ускорение по инерция, по права линия (от наша гледна точка, понеже не можем да възприемаме от по-високо измерение), когато се движим по съответния начин в гравитационно въздействие, но също така имаме и места, където се движим по инерция праволинейно и равномерно, без никакви ускорения. Кой е удачния начин да покажем и такова, неускорително движение в двуизмерна форма? Това е додекаедъра (последната от петте фигури):

При една двуизмерна Вселена-додекаедър, вместо сфера, с по-големи вдлъбнатини (изкривявания към центъра на фигурата, дупки) при местата на свързване на петоъгълниците, имаме по-добър двуизмерен модел на гравитацията на Вселената ни, при който могат да се демонстрират както равномерни, праволинейни движения по инерция в плоско пространство (плоските повърхности на петоъгълниците на додекаедъра), така и движения с ускорение по инерция в огъванията в местата на свръзка (ъглите) на петоъгълниците, където условно ще има струпвания на двуизмерна масивна материя. Подобен додекаедров двуизмерен подход би бил много по-описателен за пространство-времето на нашата Вселена в сравнение със сферата.

[tantin]

Преди 1 час, scaner said:

Според мен, както и да ги оцветиш, ще настане пълна мацаница... Така че оцветяването не е добра идея, а и дава по-малко допълнителна информация към проблема, отколкото скрива. Не е ли по-добре да си разглеждаме сферите нормално, като имаме на ум, че радиусът им зависи от издигането по четвъртото измерение? И така се връщаме на анимацията, която дадох нейде по-горе

Оцветяването при добър избор на критериите дава идеална представа за конкретен параметър, примерно ъгъла пси.

Когато имаме частица, движеща се в 4те измерения тази частица се движи по някакъв закон описван от тези 4 измерения. Като я проектираш в 3Д пространството - познай какво се получава: някаква вълнова функция. 

 

[Станислав Янков]

Преди 6 часа, tantin said:

Оцветяването при добър избор на критериите дава идеална представа за конкретен параметър, примерно ъгъла пси.

Когато имаме частица, движеща се в 4те измерения тази частица се движи по някакъв закон описван от тези 4 измерения. Като я проектираш в 3Д пространството - познай какво се получава: някаква вълнова функция. 

 

Законите в четвърто и повече пространствени измерения биха били зависими от законите в трите основни (възприеманите от нас). Най-главното е да се докаже по някакъв безспорен начин, че такова нещо е възможно да съществува реално. Например тъмната материя, която е цели три пъти повече от видимата (трудно нещо много разредено може за се равнява, камо ли да превъзхожда огромните концентрации на материя в звездите и в черните дупки), а и тъмната енергия, която дори и да е свързана с квантово-механичните флуктуации - поне една теория (суперструнната) предлага за тези флуктуации повече от три пространствени измерения.

Редактирано Октомври 18, 2021 от Станислав Янков