Въвеждане на допълнителни измерения във физиката и ползите от тях

[Gravity]

 

Преди 25 минути, Станислав Янков said:

Защото не ми се търси специално нещо си, което съвършено да отговаря - мога да уплътня времето си много по-смислено.

Ако имаш предвид времето прекарано за твоите философски писания тук, то това е по-голяма загуба на време.

 

[Станислав Янков]

Преди 2 минути, Gravity said:

Принципно е опровержимо. Трявба да се наблюдава пространството между слънцето е меркурий. 

Но самото предположение за нова планета е корено различно от това което ти правиш. То не стои в основата на теорията. Самата теория не зависи от него.

Приеми, че твърдението ми е погрешно, нямам време да се ровя, за да доказвам такива неща. Всички хипотези по онова време са били съвършени, не е имало нищо нефалсифицируемо, от сорта на днешните супеструнни "теории"/хипотези. Признавам поражението си по този въпрос.

[Gravity]

Преди 11 минути, Станислав Янков said:

Приеми, че твърдението ми е погрешно, нямам време да се ровя, за да доказвам такива неща. Всички хипотези по онова време са били съвършени, не е имало нищо нефалсифицируемо, от сорта на днешните супеструнни "теории"/хипотези. Признавам поражението си по този въпрос.

Не си разбрал. Проблемите при твоите спекулации не свършват с нефалсифицируемостта им. Това е само едно от многото неща които ге правят ненаучни.

[Станислав Янков]

Преди 5 минути, Gravity said:

 

Ако имаш предвид времето прекарано за твоите философски писания тук, то това е по-голяма загуба на време.

Аз съм доволен от напредъка си в сравнение с преди години. А и за "философските писания" ще видим, едва от няколко месеца започнах да чета някои неща във връзка с квантовата механика (Скенер ме принуди да се захвана предсрочно спрямо плановете си с това, а се оказва много по-интересно, отколкото предполагах) и по-нататъка ще има много по-оригинални и допълнени "философствания"... 

[Станислав Янков]

Преди 44 минути, Gravity said:

Не си разбрал. Проблемите при твоите спекулации не свършват с нефалсифицируемостта им. Това е само едно от многото неща които ге правят ненаучни.

Не смятам, че са нефалсифицируеми, даже ми се струва, че са сравнително лесно проверими и отново ще наизлязат разни неверни детайли (което не е зле - развитие е, независимо как другите оценяват това мое развитие). Твърдението, че времето е резултат на универсален темп на движение на вселенската материя със скоростта на светлината и на хиперизмерна (над-триизмерна) геометрия на Вселената, на асиметрия на материалното движение по направлението на координатата w, свързвана с четвърто пространствено измерение, спрямо направленията по останалите три координати, която асиметрия се формира като все по-ясно обособена (с присъствието на ентропия и с елиминиране на неопределеностите и заплитанията на най-фундаментално ниво) в теоретичната област между спиновите мрежи и квантовата теория на полето, е нещо, което не е чак толкова сложно да се провери, а съдейки по думите ти - и да се опровергае ясно и недвусмислено.

Редактирано Юли 19, 2024 от Станислав Янков

[Станислав Янков]

 

[Станислав Янков]

Нервните влакна в мозъка могат да генерират квантово вплитане | Човекът | (offnews.bg)

[Станислав Янков]

 

[Станислав Янков]

Ето нещо, което може да има връзка работата на Минев относно липсата на квантови скокове, макар вероятно да има разни неточности:

The shape and size of a photon – Reading Feynman

Формата и размерът на фотона

 Жан Луи Ван Бел Философия на науката, Физика  септември 16, 2014 50 минути

Важен постскрипт (PS) – от 22 декември 2018 г.: Уважаеми читатели на тази публикация, това е една от най-популярните публикации в моя блог, но – междувременно – продължих напред, и то доста, всъщност! Анализът по-долу не е напълно последователен: получих много въпроси по него и в резултат на това мислех различно. Въпросите и отговорите по-долу обобщават всичко: сега мисля за фотона като за точковидна частица, а глава VIII от моята книга обобщава фотонния модел. В същото време, ако наистина се интересувате от този въпрос – как трябва да се мисли за фотон? – тогава вероятно е добре, че сте прочели и оригиналния пост. Ако не друго, това ви показва колко лесно е да се объркате.

Формата и размерът на фотона

В отговор на: можем ли да кажем, че размерът на фотона зависи от дължината на вълната му? https://briankoberlein.com/2015/04/14/thats-about-the-size-of-it/

Здравей Брайън – виж раздел III на тази статия: http://vixra.org/pdf/1812.0273v2.pdf

Класическата идея на Файнман за атомен осцилатор е добра в контекста на проблема с радиацията на черното тяло, но неговото описание на фотона като дълга вълнова линия няма никакъв смисъл. Фотонът трябва да съдържа две неща: (1) енергийната разлика между орбиталите на Бор и (2) константата на Планк, която е (физическото) действие, свързано с един цикъл на трептене (така че това е сила на разстояние (примката или радиуса – в зависимост от силата, която гледате) за време на цикъла). Вижте раздел V на статията за това как се появява константата на фината структура тук – това, както обикновено, е нещо като константа на мащабиране, но този път мащабира сила. Във всеки случай идеята е, че трябва да мислим за фотона като за един цикъл, а не като за дълга вълнова линия. Единият цикъл има смисъл: когато изчислите силата на полето и силата, получавате доста умерени стойности (не вида на енергийните концентрации в черните дупки, които някои хора предполагат). Има смисъл и от логическа гледна точка: дължината на вълната е нещо реално и затова трябва да мислим за амплитудата на фотона (силата на електрическото поле) като реална – особено когато мислите за това как този фотон ще взаимодейства или ще бъде погълнат от друг атом.

Съжалявам за късния ми отговор. Мина известно време, откакто проверих коментарите. Моля, уведомете ме, ако това има смисъл. Ще разгледам блога ви през следващите дни. Работя върху нова статия за аномалния магнитен момент – който не е аномален, ако започнете да мислите как нещата могат да работят в действителност. След много години учене стигнах до заключението, че квантовата механика е хубав начин да се опишат нещата, но тя не ни помага по отношение на разбирането на нищо. Когато искаме да разберем нещо, трябва да изтласкаме класическата рамка много по-далеч, отколкото го правим в момента. Във всеки случай, това е друга дискусия. 

JL

Добре. Сега можете да преминете към самата публикация. Съжалявам, ако това обърква читателя, но е необходимо да го предупредите. Мисля, че тази публикация сега все още е тук, за да документира историята на моето търсене на "основна версия на истината", както някой я нарече. [За още по-скорошна актуализация вижте глава 8 от моята книга, Реалистична интерпретация на квантовата механика.

Оригинална публикация:

Фотоните са странни. Всички елементарни частици са странни. Както казва Файнман още в първия абзац на своите лекции по квантова механика: "Исторически се е смятало, че електронът, например, се държи като частица, а след това е установено, че в много отношения се държи като вълна. Така че наистина не се държи като нито едното, нито другото. Сега се отказахме. Ние казваме: "Това не е нито едното, нито другото. Има обаче един късмет – електроните се държат точно като светлината. Квантовото поведение на атомните обекти (електрони, протони, неутрони, фотони и т.н.) е еднакво за всички, всички те са "вълни на частици" или както искате ги наречете. Така че това, което научаваме за свойствата на електроните, ще се приложи и за всички "частици", включително фотоните на светлината. (Лекциите на Файнман, том III, глава 1, раздел 1)

Не бих посмял да споря с Файнман, разбира се, но... Какво? Добре... Фотоните са като електрони, а след това не са. Очевидно не, бих казал. Като за начало, фотоните нямат маса или заряд и също са бозони, т.е. "носители на сила" (за разлика от частиците материя), и затова се подчиняват на много различни квантово-механични правила, които се наричат статистика на Бозе-Айнщайн. Писал съм за това в друг пост (виж например публикацията ми за статистиката на Бозе-Айнщайн и Ферми-Дирак), така че няма да го правя отново тук. Вероятно е достатъчно да напомним на читателя, че тези правила предполагат, че така нареченият принцип на изключване на Паули не се прилага за тях: бозоните обичат да се струпват заедно, като по този начин заемат едно и също квантово състояние – за разлика от своите аналози, така наречените фермиони или частици материя: кварки (които изграждат протони и неутрони) и лептони (включително електрони и неутрино), които не могат да направят това. Два електрона, например, могат да седят един върху друг (или да бъдат много близо един до друг, бих казал), само ако техните спинове са противоположни (така че това прави квантовото им състояние различно) и няма никакво място да се добави трети, защото има само две възможни "посоки" за спина: нагоре или надолу.

От всичко, което съм писал досега, съм сигурен, че сега имате някаква картина на частиците материя и особено на електрона: той всъщност не е точков, защото има така нареченото напречно сечение на разсейване (ще кажа повече за това по-късно) и можем да го намерим някъде, като вземем предвид принципа на неопределеността, с вероятността да го намерим в точка x във време t дадено от абсолютния квадрат на така наречената "вълнова функция" Ψ(x, t).

Но какво да кажем за фотона? За разлика от кварките или електроните, те наистина са точковидни, нали? И можем ли да ги свържем и с пси-функция? Искам да кажа, че те очевидно имат дължина на вълната, която се дава от енергийно-честотното съотношение на Планк-Айнщайн: E = hν, с h константата на Планк и ν честотата на свързаната с нея "светлина". Но електромагнитната вълна не е като "вероятностна вълна". Така... Имат ли и дължина на вълната на де Бройл?

Преди да отговоря на този въпрос, нека представя още веднъж тази "картина" на електрона.

Вълновата функция за електроните

Електронната "картина" може да бъде представена по няколко начина, но един от по-научно правилните – каквото и да означава това – е тази на пространствено ограничена вълнова функция, представляваща комплексна величина, наречена амплитуда на вероятността. Анимацията по-долу (която взех от Уикипедия) визуализира такива вълнови функции. Както бе споменато по-горе, вълновата функция обикновено се представя с гръцката буква psi (Ψ) и често се нарича "вероятностна вълна" – от блогъри като мен – но този термин е доста подвеждащ. Защо? Със сигурност вече знаете това: вълновата функция представлява амплитуда на вероятността, а не вероятност. [Така че, за да бъдем коректни, трябва да кажем "вълна на вероятностната амплитуда" или "амплитудна вълна", но тези термини очевидно са твърде дълги и затова са изоставени и сега всички говорят за "вълновата функция", въпреки че това също е объркващо, защото електромагнитната вълна също е "вълнова функция", но описва "реални" амплитуди, а не някакви странни комплексни числа, наричани "вероятностни амплитуди".]

След като казах това, което казах по-горе, амплитудата на вероятността и вероятността очевидно са свързани: ако вземем (абсолютния) квадрат на пси-функцията – т.е. ако вземем (абсолютния) квадрат на всички тези амплитуди Ψ(x, t) – тогава получаваме действителната вероятност да намерим този електрон в точка x в момент t. Така че получаваме така наречените функции на вероятностната плътност, които са показани от дясната страна на илюстрацията по-горе. [Що се отнася до термина "абсолютен" квадрат, абсолютният квадрат е квадратната норма на свързания с него "вектор". Всъщност трябва да отбележите, че квадратът на комплексно число може да бъде отрицателен, както се вижда например от определението на i: i² = –1. Всъщност, ако има само въображаема част, тогава нейният квадрат винаги е отрицателен. Вероятностите са реални числа между 0 и 1 и затова не могат да бъдат отрицателни, затова винаги говорим за абсолютния квадрат, а не за квадрата като такъв.]

По-долу съм вмъкнал друго изображение, което дава статична картина (т.е. такава, която не се променя във времето) на вълновата функция на реален електрон. За да бъдем точни: това е вълновата функция за електрон на 5d орбитала на водородна орбитала. Можете да видите, че е много по-сложно от тези лесни неща по-горе. Идеята зад него обаче е същата. Имаме комплексна функция, различна в пространството и във времето. Взех го от Уикипедия и просто ще копирам обяснението тук: "Твърдото тяло показва местата, където вероятностната плътност на електрона е над определена стойност (0,02), изчислена от амплитудата на вероятността." Какво ще кажете за тези цветове? Добре... Изображението използва така наречената HSL цветова система за представяне на комплексни числа: всяко комплексно число е представено от уникален цвят, с различен оттенък (H), наситеност (S) и лекота (L). Просто потърсете в Google, ако искате да знаете как точно работи това.

Добре. Това трябва да е достатъчно ясно. Исках да говоря за фотоните тук. Така че нека да го направим. Добре... Хм... Осъзнавам, че първо трябва да говоря за още някои "основи". Съжалявам за това.

Преразглеждане на принципа на неопределеност (1)

Вълновата функция обикновено се дава като функция в пространството и времето: Ψ = Ψ(x, t). Трябва обаче да ви напомня също, че имаме подобна функция в "пространството на импулса": ако ψ е psi функция, тогава функцията в пространството на импулса е функция phi и ще я запишем като Φ = Φ(p, t). [Що се отнася до нотацията, x и p се изписват с главни букви и следователно представляват (триизмерни) вектори. По същия начин използваме главна буква за psi и phi, за да не я бъркаме например с малката буква φ (phi), представляваща фазата на вълнова функция.]

Вълновите функции Ψ и Φ са свързани чрез принципа на неопределеността. За да бъдем точни: те са преобразувания на Фурие едно на друго. Нали? Не се отчайвайте от това твърдение. Всъщност не трябваше да го споменавам, но тогава това е начинът, по който човек всъщност може да докаже или извлече принципа на неопределеността от... Добре... От "първите принципи", да речем, вместо просто да го записваме като някакво дадено от Бога правило. Всъщност, както казва Файнман: "Принципът на неопределеността трябва да се разглежда в неговия исторически контекст. Ако се отървете от всички старомодни идеи и вместо това използвате идеите, които обяснявам в тези лекции – добавяйки стрелки за всички начини, по които едно събитие може да се случи – няма нужда от принцип на несигурността!" Въпреки това, трябва да предположа, че вие, също като мен, все още не сте свикнали с новите идеи и затова позволете ми само да запиша Принципа на неопределеността още веднъж, като някакво дадено от Бог правило :-):

σ_x·σ_p ≥ ħ/2

Това е така наречената формулировка на Кенард на Принципа: тя измерва несигурността относно точната позиция (x), както и импулса (p), по отношение на стандартното отклонение (така че това е символът σ (сигма) около средната стойност. За да бъдем точни, предположението е, чене можем да знаем реалните x и p: можем да намерим само някакво вероятностно разпределение за x и p, което обикновено е някаква хубава "камбанова крива" в учебниците. Докато формулировката на Кенард е най-точната (и точна) формулировка на принципа на неопределеността (или отношението на неопределеността, бих казал), често ще намерите "други" формулировки. Тези "други" формули обикновено пишат Δx и Δp вместо σ_x и σ_p, със символа Δ, обозначаващ някакво "разпространение" или подобно понятие – със сигурност не мислете за Δ като за диференциал или нещо такова! [Съжалявам, че предполагам, че не знаете това (знам, че знаете!), но просто искам да се уверя тук!] Също така, тези "други" формулировки обикновено (а) не споменават фактора 1/2, (б) заместват ħ с h (ħ = h/2π, както знаете, така че ħ е за предпочитане, когато говорим за неща като ъглова честота или други неща, включващи единичната окръжност), или (в) поставят знак за равенство (=), вместо знак за неравенство (≥). Ранната формулировка на принципа на неопределеността от Нилс Бор всъщност прави всичко това:

ΔxΔp = h

Така... Добре... Това е малко небрежно, нали? Може би. В лекциите на Файнман ще намерите често цитирано "приложение" на принципа на неопределеността, водещо до доста точно изчисление на типичния размер на атома (така наречения радиус на Бор), което Файнман започва със също толкова небрежно твърдение на принципа на неопределеността, така че отбелязва: "Не е нужно да се доверяваме на нашия отговор в рамките на фактори като 2 π и т.н." Честно казано, преди смятах, че това е грозно и следователно се съмнявам в "сериозността" на този вид изчисления. Сега знам, че това наистина няма значение, тъй като същността на връзката очевидно не е 2, π или 2π фактор. Същността е самата неопределеност: тя е много малка (и умножаването й по 2, π или 2π не я прави много по-голяма), но е там.

В тази връзка трябва да ви напомня колко малка всъщност е тази физическа константа ħ: около 6.58×10⁻¹⁶ eV·s. Това е нула, последвана от десетична запетая и петнадесет нули: само тогава получаваме първите значещи цифри (65812...). И ако 10⁻¹⁶ не изглежда достатъчно малка за вас, тогава просто помислете колко малка е електронволтната единица: това е количеството (потенциална) енергия, получена (или загубена) от електрона, докато се движи през потенциална разлика от един волт (което, повярвайте ми, всъщност не е нищо особено): ако изразим ħ в джаул, тогава ще трябва да добавим още деветнадесет нули, защото 1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J. Що се отнася до такива феноменално малки числа, просто ще повторя това, което съм казвал много пъти преди: просто не можем да си представим толкова малък брой. Наистина, умът ни може интуитивно да се справя със събирането (и следователно с изваждането) и с умножението и делението (но само до известна степен), но умът ни не е създаден да разбира нелинейни неща, като експоненциалите. Ако не ми вярвате, помислете за скалата на Рихтер: можете ли да обясните разликата между земетресение с магнитуд 4,0 и 5,0? […] Ако отговорът на този въпрос ви отне повече от секунда... Добре... Прав съм. [Скалата на Рихтер се основава на експоненциалната функция с основа 10: земетресение с магнитуд 5,0 има амплитуда на разтърсване, която е 10 пъти по-голяма от тази на земетресение, регистрирано 4,0, и тъй като енергията е пропорционална на квадрата на амплитудата, това съответства на освобождаване на енергия, което е 31,6 пъти по-голямо от това на по-малкото земетресение.]

Отклонение от единиците

След като казах това, което казах по-горе, аз съм наясно с факта, че повечето хора казват, че не можем да си представим това или онова. Също така съм наясно с факта, че те обикновено казват това, за да не се налага да обясняват нещо. Така че нека се опитам да направя нещо по-полезно тук.

1. Първо, трябва да отбележа, че ħ е толкова малък, защото вторият, като единица време, е толкова невероятно голям. Всичко е относително, разбира се. Със сигурност трябва да изразим времето в по-естествена единица в атомен или субатомен мащаб, като времето, което е необходимо, за да може светлината да измине един метър. Да го направим. Нека изразим времето в единица, която ще нарека "измервателен уред". Разбира се, това не е действителен метър (защото не измерва никакво разстояние), но затова не искам да измислям нова дума и със сигурност не нов символ тук. Следователно, просто ще поставя апострофи преди и след: така че ще напиша "метър" или "м". Когато приемем "метъра" като единица време, получаваме стойност за "ħ", която е равна на (6,6×10⁻¹⁶ eV·s)(1/3×10⁸ "метър"/секунда) = 2,2×10⁻⁸ eV·' m’. Сега, 2.2×10⁻⁸ е число, което все още е твърде малко, за да си представим. Но тогава нашият "метър" все още е доста огромна единица в атомен мащаб: трябва да вземем "милимикрона", известен още като "нанометр" (1 nm = 1×10⁻⁹ m), или – още по-добре, защото е по-подходящо – "angstrom": 1 Å = 0,1 nm = 1×10⁻¹⁰ m. Всъщност най-малкият атом (водород) има радиус от 0,25 Å, докато по-големите атоми ще имат радиус от около 1 или повече Å. Сега това трябва да работи, нали? Прав си, получаваме стойност за 'ħ', равна на (6.6×10⁻¹⁶ eV·s)(1/3×10⁸ "м"/и)(1×10¹⁰ 'Å'/m) = 220eV·' Å', или 22 220eV·' nm'. Така... Какво? Добре... Ако не друго, това показва, че ħ не е малка единица на атомно или субатомно ниво! Следователно всъщност можем да започнем да си представяме как работят нещата на атомно ниво, когато използваме по-адекватни единици.

[Сега, само за да проверя знанията ви, нека ви попитам: каква е дължината на вълната на видимата светлина в ангстрьом? […] Добре? […] Нека ви кажа: 400 до 700 nm е 4000 до 7000 Å. С други думи, дължината на вълната на видимата светлина е доста голяма в сравнение с размера на атомите или електронните орбити!]

2. Второ, нека направим бърз анализ на размерността на тази релация ΔxΔp = h и/или нейния по-точен израз σ_x·σ_p ≥ ħ/2.

Позицията (и нейната несигурност или стандартно отклонение) се изразява в единици за разстояние, докато импулсът... Ъъъ... Добре... Какво? […] Импулсът е маса по скорост, така че е kg·m/s. Следователно размерът на продукта от лявата страна на неравенството е m·kg·m/s = kg·m²/и. И така, какво да кажем за това измерение на eV от дясната страна? Добре... Електронволтът е единица енергия и затова можем да го преобразуваме в джаули. Джаулът е нютонметър (N·m), който е единицата както за енергия, така и за работа: това е работата, извършена при прилагане на сила от един нютон на разстояние от един метър. Сега имаме N·m·s за ħ, което е хубаво, защото константата на Планк (h или ħ – каквото и да е: изборът за една от двете зависи от променливите, които разглеждаме) наистина е квантът за действие. Това е Wirkung, както се казва на немски, така че размерът му съчетава както енергия, така и време.

Казано по-просто, това е малко като мощността, която е това, от което ние, мъжете, се интересуваме, когато гледаме двигател на кола или мотоциклет.  Мощността е енергията, изразходвана или доставена в секунда, така че нейното измерение е J/s, а не J·s. Умът ви обаче може да види приликата в мисленето тук. Енергията е хубава концепция, независимо дали е потенциална (помислете за кофа с вода над главата ви) или кинетична (помислете за удар в битка в бар), но има повече смисъл за нас, когато добавяме измерението на времето (изпразването на кофа с вода над главата ви е различно от ходенето под дъжда, а въздействието на удара зависи от силата, с която се нанася). Всъщност, най-добрият начин да се разбере размерността на константата на Планк вероятно е да се запише и джаулът в "базови единици". Отново, един джаул е количеството енергия, от което се нуждаем, за да преместим обект на разстояние от един метър срещу сила от един нютон. Така че едно J·s е едно N·m·s е (1) сила на един нютон, действаща на разстояние от (2) един метър за период от време, равен на (3) една секунда.

Надявам се, че това ви дава по-добра представа за това какво всъщност е "действие" във физиката. […] Във всеки случай не сме отговорили на въпроса. Как свързваме двете страни? Просто: нютонът е често използвана SI единица, но не е SI базова единица и затова трябва да го деконструираме още повече (т.е. да го запишем в SI базови единици). Ако направим това, получаваме 1 N = 1 kg·m/s²: един нютон е силата, необходима за придаване на маса от 1 kg ускорение от 1 m/s в секунда. Така че просто заменете и ще видите, че размерът от дясната страна е kg· (м/сек²)·m·s = kg·m²/s, така че излиза добре.

Защо това отклонение от единиците? Не е сигурно. Може би само да ви напомня, че принципът на неопределеността може да се изрази и от гледна точка на енергия и време:

ΔE·Δt = h

Тук няма объркване по отношение на единиците от двете страни: не е нужно да преобразуваме в SI базови единици, за да видим, че те са еднакви: [ΔE][Δt] = J·s.

Преразглеждане на принципа на неопределеност (2)

Изразът ΔE·Δt = h не се използва толкова често като израз на принципа на неопределеността. Не съм сигурен защо и не мисля, че е нещо добро. Енергията и времето също са допълващи се променливи в квантовата механика, така че това е точно като позицията и импулса. Всъщност аз харесвам израза енергия-време малко повече от израза позиция-импулс, защото той не създава никакво объркване по отношение на единиците от двете страни: това са просто джаули (или електронволти) и секунди от двете страни на уравнението. И какво?

Честно казано, не искам да се отклонявам твърде много тук (този пост ще стане ужасно дълъг), но лично на мен ми беше трудно за известно време да свържа двата израза на един и същ "принцип" на несигурността и затова нека ви покажа как двете изразяват едно и също нещо в действителност, особено защото може да знаете, а може и да не знаете, че има още повече двойки на допълващи се променливи в квантовата механика. Така че, не знам дали следното ще ви помогне много, но ми помогна да отбележа, че:

1. Енергията и импулсът на частицата са тясно свързани чрез (релативистката) връзка енергия-импулс. Сега, тази формула, E² = p²c² – м₀²c⁴, който свързва енергията, импулса и вътрешната маса (известна още като маса на покой), изглежда доста чудовищно в началото. Следователно може да предпочетете по-проста форма: pc = Ev/c. Това е същото, тъй като и двете се основават на релативистката еквивалентност маса-енергия: E = mc² или, както предпочитам да го пиша: m = E/c². [И двата израза очевидно са еднакви, но можем да ги "прочетем" по различен начин: m = E/c² изразява идеята, че енергията има еквивалентна маса, определена като инерция, и така прави енергията първична концепция, а не маса.] Разбира се, трябва да отбележите, че m е общата маса на обекта тук, включително както (а) неговата маса в покой, така и (б) еквивалентната маса, която получава от движение със скорост v. Така че m, а не m₀, е концепцията за маса, използвана за дефиниране на p, и забележете колко лесно е да се демонстрира еквивалентността на двете формули: pc = Ev/c ⇔ mvc = Ev/c ⇔ E = mc². Във всеки случай, изводът е: не мислете за енергията и импулса на частицата като за две отделни неща; те са два аспекта на една и съща "реалност", включваща маса (мярка за инерция, както знаете) и скорост (измерена в определена (така наречената инерционна) отправна система).
2. Времето и пространството са тясно свързани чрез универсалната константа c, т.е. скоростта на светлината, за което свидетелства фактът, че често ще искаме да изразим разстоянието не в метър, а в светлинни секунди (т.е. разстоянието, което светлината изминава (във вакуум) за една секунда) или, обратно, да изразим времето в метър (т.е. времето, което светлината трябва да измине разстояние от един метър).

Тези връзки са взаимосвързани и следващата диаграма показва как.

Най-лесният начин да запомните всичко това е да приложите принципа на неопределеността, както в неговите ΔE·Δt = h, така и в неговите Δp·Δx = h изрази, към фотон. Фотонът няма маса в покой и скоростта му v очевидно е c. Така че връзката енергия-импулс е много проста: p = E/c. След това получаваме и двата израза на принципа на неопределеността, като просто заместваме E с p или обратното, и помним, че времето и позицията (или разстоянието) са свързани по абсолютно същия начин: константата на пропорционалност е абсолютно еднаква. Това е в. Така че можем да запишем: Δx = Δt· c и Δt = Δx/c. Ако сте объркани, помислете за това от много практични термини: тъй като скоростта на светлината е такава, каквато е, несигурността от една секунда във времето се равнява приблизително на несигурност в позиция от около 300 000 км (c = 3×10⁸ м/с). Обратно, несигурност от около 300 000 км в позицията се равнява на несигурност във времето от една секунда. Това е целта на 1-2-3 в диаграмата по-горе: моля, проверете дали го "разбирате", защото това наистина е "съществено".

Обратно към "вероятностни вълни"

Материята-частици не са еднакви, но ние имаме едни и същи отношения, включително тази "дуалност енергия-импулс". Формулите са малко по-сложни, защото включват маса и скорост (т.е. скорост, по-малка от тази на светлината). За материята-частици можем да видим тази дуалност енергия-импулс не само в изразените по-горе връзки (особено релативистката връзка енергия-импулс), но и в (не)прословутата връзка на Дьо Бройл, която свързва някаква "честота" (f) с енергията (E) на частицата или, което се равнява на същото, някаква "дължина на вълната" (λ) към нейния импулс (p):

λ = h/p и f = E/h

Тези две допълващи се уравнения дават "дължина на вълната" (λ) и/или "честота" (f) на вълна на Дьо Брой, или "вълна на материята", както понякога се нарича. Използвам още веднъж апострофи, защото дължината и честотата на вълната на де Бройл са различно понятие – различно от дължината на вълната или честотата на светлината или на всяка друга "реална" вълна (като водни или звукови вълни, например). За да илюстрираме разликите, нека започнем с много прост въпрос: каква е скоростта на вълната на дьо Брой? Добре... […] Така? Мислехте, че знаете, нали?

Позволете ми да отговоря на въпроса:

1. Математически (и физически) правилният отговор включва разграничаване на груповата и фазовата скорост на вълната.
2. "Лесният" отговор е: вълната на Дьо Бройл на частицата се движи заедно с частицата и следователно нейната скорост очевидно е скоростта на частицата, която за електроните обикновено е нерелативистка (т.е. доста бавна в сравнение със скоростта на светлината).

За да е ясно, скоростта на вълната на Дьо Бройл не е скоростта на светлината. Така че вълната на дьо Бройл изобщо не е като електромагнитна вълна. Всъщност те нямат нищо общо, освен факта, че и двете наричаме "вълни".

Второто нещо, което трябва да се отбележи е, че когато говорим за "честотата" или "дължината на вълната" на "вълните на материята" (т.е. вълните на Дьо Брой), ние говорим за честотата и дължината на вълната на вълната с два компонента: това наистина е комплексна вълнова функция и така получаваме реална и въображаема част, когато "захранваме" функцията с някои стойности за x и t.

Трето и може би най-важното, винаги трябва да помним принципа на неопределеността, когато разглеждаме отношението на дьо Брой. Принципът на неопределеността предполага, че всъщност не можем да определим никаква точна дължина на вълната (или, което се равнява на същото, точна честота) на вълната на Дьо Брой: ако има разпространение в p (и следователно в E), тогава ще има разпространение в λ (и в f). Всъщност съм склонен да мисля, че би било по-добре да напишем отношението на дьо Бройл като "отношение на неопределеността" само по себе си:

Δλ = Δ(h/p) = h Δp и Δf = ΔE/h = h ΔE

Освен че подчертава факта, че имаме други "двойки" допълващи се променливи, тази "версия" на уравнението на Дьо Бройл също ще ни напомня непрекъснато за факта, че "обикновена" вълна с точна честота и/или точна дължина на вълната (т.е. Δλ и/или Δf, равна на нула) няма да ни даде никаква информация за импулса и/или енергията. Всъщност, тъй като Δλ и/или Δf отиват до нула (Δλ → 0 и/или Δf → 0 ), тогава Δp и ΔE трябва да отидат в безкрайност (Δp → ∞ и ΔE → ∞. Това е просто математиката, включена в такива изрази.

Шегата настрана, ще призная, че преди имах много проблеми с разбирането на това, така че просто ще цитирам експертния учител (Файнман) по този въпрос, за да съм сигурен, че няма да ме разберете погрешно тук:

"Амплитудата за намиране на частица на дадено място може при някои обстоятелства да варира в пространството и времето, да речем в едно измерение, по следния начин: Ψ = A e^i(ωt−kx) , където ω е честотата, която е свързана с класическата идея за енергията чрез E = ħω, а k е вълновото число, което е свързано с импулса чрез p = ħk. [Това са еквивалентни формулировки на релациите на де Брой, използващи ъгловата честота и числото на вълната вместо дължината и честотата на вълната.] Бихме казали, че частицата има определен импулс p, ако числото на вълната е точно k, т.е. перфектна вълна, която продължава с една и съща амплитуда навсякъде. Ψ = A e^i(ωt−kx) Уравнението [тогава] дава амплитудата на [комплексната вероятност] и ако вземем абсолютния квадрат, получаваме относителната вероятност за намиране на частицата като функция на позицията и времето. Това е константа, което означава, че вероятността да се намери [тази] частица е еднаква навсякъде." (Лекциите на Файнман, I-48-5)

Може да кажете или да си помислите: Какъв е проблемът тук всъщност? Добре... Ако вероятността да се намери частица е еднаква навсякъде, тогава частицата може да бъде навсякъде и за всички практически цели това е равносилно на това, че всъщност не е никъде. Следователно тази вълнова функция не служи на целта. Накратко, това хубаво Ψ = A e^i(ωt−kx) функцията е напълно безполезна от гледна точка на представянето на електрон или друга действителна частица, движеща се в пространството. И така, какво да правя?

Статията в Уикипедия за принципа на неопределеността има тази прекрасна анимация, която показва как можем да наслагваме няколко вълни, една върху друга, за да образуваме вълнов пакет. Позволете ми да го копирам по-долу:

Така че това е вълната, която наистина искаме: вълнов пакет, който пътува през пространството, но в същото време е ограничен в пространството. Разбира се, трябва да отбележите, още веднъж, че тя показва само една част от комплексната амплитуда на вероятността: просто визуализирайте другата част (въображаема, ако вълната по-горе представлява реалната част, и обратното, ако вълната се случи да представлява въображаемата част от вероятностната амплитуда). Анимацията основно илюстрира математическа операция. За да бъдем точни, той включва анализ на Фурие или разлагане: той разделя вълновия пакет на краен или (потенциално) безкраен брой съставни вълни. Всъщност, забележете как на илюстрацията по-горе честотата на съставните вълни постепенно се увеличава (или, което е същото, как дължината на вълната става все по-малка и по-малка) и как с всяка вълна, която "добавяме" към пакета, тя става все по-локализирана. Сега лесно можете да видите, че "несигурността" или "разпространението" на дължината на вълната тук (която ще обозначим с Δλ) е, съвсем просто, разликата между дължината на вълната на "едноцикъловата вълна", която е равна на пространството, което заема целият вълнов пакет (което ще обозначим с Δx), и дължината на вълната на "най-високочестотната вълна". За всички практически цели те са приблизително еднакви, така че можем да напишем: Δx ≈ Δλ. Използвайки формулировката на Бор на принципа на неопределеността, можем да видим, че изразът, който използвах по-горе (Δλ = hΔp), има смисъл: Δx = Δλ = h/Δp, така че ΔλΔp = h.

[Само за да бъда 100% ясен по отношение на терминологията: разлагането на Фурие не е същото като преобразуването на Фурие, което споменах, когато говорих за връзката между позиция и импулс във формулировката на Кенард на Принципа на неопределеността, въпреки че тези две математически концепции очевидно имат няколко общи неща.]

Влакът на вълните отново

Всичко, което казах по-горе, е "правилното" тълкуване на принципа на неопределеността и уравнението на дьо Брой. Честно казано, отне ми доста време, за да го "разбера" – и, както можете да видите, ми отне доста време, за да стигна до "тук", разбира се.

Всъщност бях объркан, всъщност в продължение на доста години, защото никога не съм разбирал напълно, че трябва да има разпространение на дължината на вълната на влака на вълната. Всъщност, всички можем лесно да си представим локализиран влак на вълната с фиксирана честота и фиксирана дължина на вълната, като този по-долу, който ще използвам отново по-късно. Аз сам съм направил този влак на вълната: това е стандартна функция синус и косинус, умножена с функция "обвивка", генерираща обвивката. Както можете да видите, това наистина е сложно нещо: синята крива е реалната част, а въображаемата част е червената крива.

Можете лесно да направите графика като тази сами. [Просто използвайте един от тези онлайн инструменти за графики.] Това нещо е локализирано в космоса и, както бе споменато по-горе, има фиксирана честота и дължина на вълната. Така че всички онези енигматични твърдения, които ще намерите в сериозни или по-малко сериозни книги (т.е. учебници или популярни разкази) по квантова механика, които казват, че "не можем да определим уникална дължина на вълната за късовълнов влак" и/или казват, че "има неопределеност във вълновото число, което е свързано с крайната дължина на влака, и по този начин има неопределеност в инерцията" (цитирам Файнман тук, така че не един от по-малките богове) са – с цялото ми уважение към тези автори, особено към Файнман – просто грешат. Направих още един "влак на къси вълни" по-долу, но този път той изобразява само реалната част от (възможна) вълнова функция.

Хм... Сега този има странна форма, ще кажете. Не прилича на "вълна от материя"! Добре... Прав си. Може би. [Ще ви предизвикам след малко.] Формата на функцията по-горе обаче е съвместима с гледната точка на фотона като преходно електромагнитно трептене. Позволете ми да премина направо към въпроса, като изложа основите: възгледът за фотона във физиката е, че фотоните се излъчват от атомни осцилатори. Когато електронът скача от едно енергийно ниво на друго, той сякаш трепти напред-назад, докато отново не е в равновесие, като по този начин излъчва електромагнитна вълна, която изглежда като преходен процес.

Нали? Какво е преходен? Това е трептене като това по-горе: нейната амплитуда и следователно нейната енергия стават все по-малки и по-малки с течение на времето. За да бъдем точни, енергийното му ниво има същата форма като кривата на обвивката по-долу: E = E₀e^–t/τ. В този израз имаме τ като така нареченото време на затихване и можем да покажем, че то е обратното на така наречената скорост на затихване: τ = 1/γ с γE = –dE/dt. В случай, че се чудите, вижте го в Уикипедия: това е едно от многото приложения на естествената експоненциална функция: тук наистина говорим за така наречения експоненциален спад, включващ величина (в този случай амплитудата и/или енергията), намаляваща със скорост, която е пропорционална на текущата му стойност, като коефициентът на пропорционалност е γ. Така че записваме това като γE = –dE/dt в математическа нотация.

Трябва да продължа напред. Всичко, което написах по-горе, беше "обикновена физика", но това, което наистина искам да изследвам в този пост, е луда хипотеза. Възможно ли е тези вълнови влакове по-горе – имам предвид вълновите влакове с фиксирана честота и дължина на вълната – да представляват вълна на Бройл за фотон?

Ще кажете: разбира се, че не! Но, нека бъдем честни, ще ви е трудно да обясните защо. Най-добрият отговор, който вероятно бихте могли да измислите, е: защото нито един учебник по физика не казва нещо подобно. Прав си. Това е луда хипотеза, защото когато попитате физик (вярвате или не, но всъщност аз си направих труда да попитам двама ядрени учени), той ще ви каже, че фотоните не трябва да се свързват с вълните на Дьо Брой. [Ще кажете: защо не се опитахте да потърсите отговор в интернет? Всъщност го направих, но – за разлика от това, с което съм свикнала – получих много объркващи отговори на този въпрос, така че се отказах да се опитвам да намеря някакъв категоричен отговор на този въпрос в интернет.]

Тези отрицателни отговори обаче не ме обезкуражават да се опитам да направя малко по-свободно. Преди да обсъдим дали идеята за вълна на Дьо Бройл за фотон има смисъл или не, нека помислим за математическите ограничения. Потърсих малко в Google, но всъщност виждам само една: амплитудите на вълната на де Бройл са обект на условие за нормализиране. Всъщност, когато всичко е казано и направено, всички вероятности трябва да имат стойност между 0 и 1 и също така всички те трябва да се събират точно до 1. Така че това е така нареченото условие за нормализация, което очевидно налага някои ограничения върху (комплексните) вероятностни амплитуди на нашата вълнова функция.

Но нека се върнем към фотона. Нека ви напомня какво се случва, когато се излъчва фотон, като вмъкна двете диаграми по-долу, които дават енергийните нива на атомните орбитали на електроните.

Електронът поглъща или излъчва фотон, когато преминава от едно енергийно ниво на друго, така че поглъща или излъчва радиация. И, разбира се, ще запомните също, че честотата на погълнатата или излъчена светлина е свързана с тези енергийни нива. По-конкретно, честотата на светлината, излъчвана при преход от, да речем, енергийно ниво Е₃ до E₁ ще бъде записано като ν₃₁ = (E₃ – Д₁)/з. Тази честота ще бъде една от така наречените характеристични честоти на атома и ще определи специфична така наречената спектрална емисионна линия.

Сега, от математическа гледна точка, няма разлика между това ν₃₁ = (E₃ – Д₁)/h уравнение и уравнението на Де Брой, f = E/h, което приписва вълна на Де Брой на частица. Но, разбира се, от всичко, което написах по-горе, е очевидно, че макар тези две формули да са еднакви от математическа гледна точка, те представляват много различни неща. Отново позволете ми да повторя това, което казах по-горе: вълната на дьо Бройл е материя-вълна и като такава няма нищо общо с електромагнитната вълна.

Нека бъда още по-ясен. Вълната на Дьо Бройл не е "истинска" вълна, в известен смисъл (но, разбира се, това е много ненаучно твърдение); Това е PSI функция, така че тя представя тези странни математически величини – сложни вероятностни амплитуди – които ни позволяват да изчислим вероятността да намерим частицата в позиция X или, ако това е вълнова функция за пространството на импулса, да намерим стойност p за нейния импулс. За разлика от това, фотон, който се излъчва или поглъща, представлява "реално" смущение на електромагнитното поле, разпространяващо се в пространството. Следователно, тази честота ν е нещо много различно от f, поради което използваме друг символ за нея (ν е гръцката буква nu, да не се бърка със символа v, който използваме за скорост). [Разбира се, може да се чудите колко "реално" или "нереално" е едно електромагнитно поле, но в контекста на тази дискусия нека ви уверя, че трябва да гледаме на него като на нещо, което е много реално.]

Като се има предвид това, ние също знаем, че светлината се излъчва в дискретни енергийни пакети: всъщност това е начинът, по който фотоните са били дефинирани първоначално, първо от Планк, а след това от Айнщайн. Сега, когато електрон падне от едно енергийно ниво в атома на друго (по-ниско) енергийно ниво, той излъчва един – и само един – фотон с тази конкретна дължина на вълната и енергия. Въпросът тогава е: как трябва да си представим този фотон? Има ли и някаква повече или по-малко определена позиция в пространството и някакъв импулс? Отговорът определено е да, и в двата случая:

1. При спазване на ограниченията на принципа на неопределеността, ние знаем, повече или по-малко, кога фотонът напуска източника и когато удари някой детектор. [И, да, поради "Принципа на неопределеността" или, както го казва Файнман, правилата за добавяне на стрелки, той може да не се движи по права линия и/или със скоростта на светлината – но това е дискусия, която, вярвате или не, не е пряко свързана тук. Ако искате да научите повече за него, проверете една или повече от публикациите ми за него.]
2. Знаем също, че светлината има много определен импулс, който съм изчислил другаде и затова просто ще отбележа резултата: p = E/c. Това е "тласкащ импулс", наричан радиационно налягане, и наистина е в посоката на движението.

Накратко, има смисъл, по мое скромно мнение, т.е. да се свърже някаква вълнова функция с фотона, и тогава имам предвид вълна на дьо Брой. Просто помислете сами. Прав си да кажеш, че вълната на дьо Бройл е "вълна на материя", а фотоните не са материя, но след това фотоните се държат като електрони, нали? Има дифракция (когато изпращате фотон през един процеп) и интерференция (когато фотоните преминават през два процепа, заедно или – удивително – един по един), така че това е същата странност като електроните и защо да не свържем някакъв вид вълнова функция с тях?

Тук можете да реагирате по един от трите начина. Първата реакция е: "Е... Не знам. Ти ми кажи. Добре... Това е, което се опитвам да направя тук.

Втората реакция може да е малко по-точна. Например, тези, които са чели "Странната теория за светлината и материята" на Файнман, могат да кажат: "Разбира се, защо не? Това е, което правим, когато свързваме фотон, движещ се от точка А до Б, с амплитуда P(A към B), нали?"

Добре... Не. Тук говоря за нещо друго. Не някаква амплитуда, свързана с път в пространство-времето, а вълнова функция, даваща приблизителна позиция на фотона.

Третата реакция може да е същата като реакцията на онези двама ядрени учени, които попитах: "Не. Няма смисъл. Ние не свързваме фотоните с вълната на Дьо Брой." Но те не ми казаха защо, защото... Добре... Те нямаха време да забавляват човек като мен и затова аз не смеех да поставя въпроса и продължих да го изследвам по-подробно.

Така че направих това и се сетих за една причина, поради която въпросът, може би, няма толкова много смисъл: фотонът се движи със скоростта на светлината, следователно няма дължина. Следователно, да правя това, което правя по-долу, а именно да асоциирам електромагнитния преходен процес с вълната на Де Брой, може да няма смисъл.

Може би. Ще ви оставя да прецените. Преди да развия точката, ще повдигна две възражения срещу "възражението", повдигнато по-горе (т.е. твърдението, че фотонът няма дължина). Първо, ако гледаме на фотона като на някаква частица, той очевидно няма да има дължина. Въпреки това, електромагнитният преходен процес е точно това, което е: електромагнитен преходен процес. Не виждам нищо, което да ме кара да мисля, че дължината му трябва да е нула. Всъщност, ако случаят е такъв, самата концепция за електромагнитна вълна няма да има смисъл, тъй като нейната "дължина" винаги ще бъде нула. Второ, дори ако по някакъв начин дължината на електромагнитния преходен процес бъде намалена до нула поради неговата скорост, все още можем да си представим, че гледаме излъчването на електромагнитен импулс (т.е. фотон), използвайки референтната рамка на фотона, така че да пътуваме със скорост c, "яздене" с фотона, така да се каже, докато се излъчва. Тогава ще "видим" електромагнитния преходен процес, докато се излъчва в космоса, нали?

Може би. Всъщност не знам. Ето защо написах този пост и се надявам някой да реагира на него. Наистина не знам, така че реших, че би било хубаво просто да се разбера малко по този въпрос. Така че бъдете предупредени: нищо от това, което пиша по-долу, не е изследвано наистина, така че критичните коментари и корекции от действителни специалисти са повече от добре дошли.

Формата на фотонна вълна

Както бе споменато по-горе, отговорът по отношение на определението за позицията и импулса на фотона очевидно е недвусмислен. Може би трябва да разширим всичко, което разбираме за (специалната) теория на относителността на Айнщайн, но според мен трябва да можем да направим някои заключения.

Позволете ми да кажа още нещо за инерцията тук. Както казахме, ще ви насоча към една от моите публикации за подробности, но всичко, което трябва да знаете тук е, че импулсът на светлината е свързан с вектора на магнитното поле, който обикновено никога не споменаваме, когато обсъждаме светлината, защото е толкова малък в сравнение с вектора на електрическото поле в нашата инерционна отправна система. Всъщност величината на вектора на магнитното поле е равна на величината на вектора на електрическото поле, разделена на c = 3×10⁸, така че пишем B = E/c. Сега, E тук означава електрическо поле, така че нека използвам W, за да се позова на енергията вместо E. Използвайки уравнението B = E/c и доста просто изчисление на работата, която може да бъде извършена от свързаната с него сила върху заряд, който се поставя в това поле, получаваме известното уравнение, което вече споменахме по-горе: Импулсът на фотона е общата му енергия, разделена на c, така че записваме p = W/c. Ще кажете: и какво от това? Добре... Нищо. Исках само да отбележа, че получаваме едно и също p = W/c уравнение, но от много различен ъгъл на анализ тук. Тук изобщо не използвахме съотношението енергия-импулс! Във всеки случай, трябва да се отбележи, че импулсът на фотона е само малка част от неговата енергия (p = W/c) и че свързаният вектор на магнитното поле също е само малка част от вектора на електрическото поле (B = E/c).

Но така е и всъщност, когато се приеме движеща се отправна система, смесицата от E и B (т.е. електрическото и магнитното поле) става съвсем различна. Един от "скъпоценните камъни" в лекциите на Файнман е изложението на относителността на електрическите и магнитните полета, в което той анализира електрическото и магнитното поле, причинено от ток, и в което показва, че ако превключим нашата инерционна отправна система с тази на движещите се електрони в жицата, "магнитното" поле изчезва, и целият електромагнитен ефект наистина става "електрически".

Просто отбелязвам това, защото знам, че трябва да направя подобен анализ за "сместа" E и B, участваща в електромагнитния преходен процес, който се излъчва от нашия атомен осцилатор. Въпреки това, ще призная, че не съм достатъчно комфортно с физиката, нито с математиката, за да направя това, така че... Добре... Моля, имайте това предвид, тъй като ще напиша някои доста спекулативни мисли в това, което следва.

Така... Фотонът по същество е електромагнитно смущение и затова, когато се опитваме да си представим фотон, можем да си представим някакъв осцилиращ вектор на електрическо поле, който пътува през пространството и също е ограничен в него. [Забележете, че оставям вектора на магнитното поле извън анализа от самото начало, което не е "хубаво", но в светлината на тази връзка B = E/c, ще приема, че е приемливо.] Накратко, в класическия свят – и само в класическия свят, разбира се – фотонът трябва да е някакъв електромагнитен вълнов влак, като този по-долу – може би.

Но защо да има такава форма? Предложих го само защото има същата форма като представянето на частица на Файнман (виж по-долу) като "вероятностна вълна", пътуваща през пространството и ограничена в него.

И така, какво ще кажете за това? Нека първо ви напомня още веднъж (просто не мога да подчертая това достатъчно изглежда), че представянето на Файнман – и повечето се основават на неговото, изглежда – е подвеждащо, защото предполага, че ψ(x) е някакво реално число. Това не е. На изображението по-горе вертикалната ос не трябва да представлява някакво реално число (и със сигурност не трябва да представлява вероятност, т.е. някакво реално положително число между 0 и 1), а амплитуда на вероятността, т.е. комплексно число, в което както реалната, така и въображаемата част са важни. За да бъдем напълно пълни (в случай, че сте забравили), такава комплексна вълнова функция ψ(x) ще ви даде всички вероятности, от които се нуждаете, когато вземете нейния (абсолютен) квадрат, но така... Добре... Тук наистина говорим за различно животно и изображението по-горе ви дава само една част от комплексната вълнова функция (реалната или въображаемата част), докато трябва да ви даде и двете. Ето защо намирам графиката си по-долу за много по-добра. Всъщност е същото, но показва както реалната, така и комплексната част на вълновата функция.

Но нека се върна към първата илюстрация: вертикалната ос на първата илюстрация не е ψ, а E – векторът на електрическото поле. Така че тук няма въображаема част: просто реално число, представляващо силата – или величината, бих казал – на електрическото поле E като функция на пространствената координата x. [Могат ли величините да бъдат отрицателни? Честният отговор е: не, не могат. Но просто мислете за това като за представяне на вектора на полето, сочещ в другата посока.]

Независимо от недостатъците на тази графика, включително факта, че тук имаме само някакво реално оценено трептене, ще работи ли тя като "предложение" за това как може да изглежда реалният фотон?

Разбира се, можете да се опитате да не отговорите на този въпрос, като измърморите нещо като: "Е... Със сигурност не представлява нищо, което се доближава до фотон в квантовата механика." Но... Добре... Това не е моят въпрос тук: моля ви да бъдете креативни и да "мислите извън кутията", така да се каже.

Така че трябва да кажете "Не!" поради някаква друга причина. Каква причина? Добре... Ако фотонът е електромагнитен преходен процес – с други думи, ако приемем чисто класическа гледна точка – той наистина ще бъде преходна вълна и тогава той трябва да ходи, да говори и дори да изглежда като преходен. Нека набързо да напиша формулата за (вертикалната) компонента на E като функция от ускорението на някакъв заряд q:

Зарядът q (т.е. източникът на радиацията) е, разбира се, нашият електрон, който излъчва фотона, докато той скача от по-високо към по-ниско енергийно ниво (или, обратно, поглъщайки го). Тази формула основно гласи, че величината на електрическото поле (E) е пропорционална на ускорението (a) на заряда (с t–r/c забавеният аргумент). Следователно, предложената форма на E като функция на x, както е показано по-горе, би означавала, че ускорението на електрона е (а) първоначално доста малко, (б) след това става все по-голямо и по-голямо, за да достигне някакъв максимум, и след това (в) става все по-малко и по-малко отново, за да затихне напълно. Накратко, той съвпада с дефиницията за преходна вълна sensu stricto (Уикипедия определя преходния процес като "краткотраен изблик на енергия в система, причинен от внезапна промяна на състоянието"), но е малко вероятно да представлява някакъв реален преходен процес. Така че не можем да го изключим, но реалният преходен процес е много по-вероятно да изглежда като нещо, което е показано по-долу: без постепенно увеличаване на амплитудата, а първоначално големи колебания, които след това намаляват до нула. С други думи, ако нашият фотон е преходно електромагнитно смущение, причинено от "внезапен изблик на енергия" (какъвто е този електронен скок, според мен), тогава неговото представяне ще прилича много по-вероятно на затихнала вълна, като тази по-долу, а не на картината на Файнман на движеща се материя-частица.

Всъщност ще трябва да обърнем изображението, както вертикално, така и хоризонтално, защото ускорението на източника и полето са свързани, както е показано по-долу. Вертикалното обръщане се дължи на знака минус във формулата за E(t). Хоризонталното обръщане се дължи на знака минус в члена (t – r/c), аргумента забавен: ако добавим малко време (Δt), получаваме същата стойност за a(t−r/c), каквато бихме имали, ако бяхме извадили малко разстояние: Δr=−cΔt. Ето защо E като функция на r (или на x), т.е. като функция в пространството, е "обърнат" график на ускорението като функция на времето.

Така че ще имаме нещо като по-долу.

На какво прилича това? Това не е вибрираща струна (въпреки че сега започвам да разбирам привлекателността на теорията на струните: вибриращите струни са страхотни като системи за съхранение на енергия, така че идеята, че фотонът е някакъв вид вибрираща струна, звучи страхотно, нали?). Това също не прилича на ефект на камшика, защото трептенето на камшика е ограничено от различен плик (виж по-долу). И не, това също определено не е тромпет.

Това е точно това, което е: електромагнитен преходен процес, пътуващ през космоса. Би ли било реалистично това като "снимка" на фотон? Честно казано, не знам. Разгледах много неща, но не намерих нищо по този въпрос. Лесният отговор, разбира се, е доста ясен: ние не се интересуваме от формата на фотона, защото знаем, че това не е електромагнитна вълна. Това е "вълнообразие", точно като електрон.

[…] Сигурен. Знам и това. Файнман ми каза. Но тогава защо да не свържем някаква вълнова функция с нея? Моля, кажете ми, защото наистина не мога да намеря много отговор на този въпрос в литературата и затова съм свободен тук. Така че просто отидете с мен за известно време и излезте с друго предложение. Както казах по-горе, вашият залог е толкова добър, колкото и моят. Всичко, което знам е, че има едно нещо, което трябва да обясним, когато разглеждаме различните възможности: фотонът има много добре дефинирана честота (която определя цвета му във видимия спектър на светлината) и така нашата вълнова линия трябва – по мое скромно мнение – също да има тази честота. Поне за "доста време" – и тогава имам предвид "през повечето време" или поне "средно". В противен случай концепцията за честота – или дължина на вълната – не би имала много смисъл. Всъщност, ако фотонът няма определена дължина на вълната или честота, тогава не бихме могли да го възприемем като някакъв цвят (както може би знаете или не, усещането за "цвят" се произвежда от нашето око и мозък, но определено е свързано с честотата на светлината). Фотонът трябва да има цвят (на физически език това означава честота), защото когато всичко е казано и направено, това е смисълът на релацията на Планк.

Каква би била вашата алтернатива? Искам да кажа... Няма ли смисъл да мислим, че когато прескача от едно енергийно ниво на друго, електронът първоначално ще надхвърли новата си позиция на равновесие, за да го изстреля отново от другата страна и т.н., и така нататък, но с амплитуда, която става все по-малка и по-малка с отшумяването на трептенето? Накратко, ако разглеждаме радиацията като причинена от атомни осцилатори, защо да не ги мислим като осцилатори, подложени на някаква затихваща сила? Само помислете за това.

Размерът на фотонна вълна

Нека забравим за формата за известно време и да помислим за размера. Тук имаме електромагнитен влак. И така, колко дълго ще бъде? Добре... Файнман изчислява Q на тези атомни осцилатори: то е от порядъка на 10⁸ (виж неговите лекции, I-33-3: това е чудесно просто упражнение и такова, което наистина показва величието му като учител по физика) и следователно този вълнов влак ще продължи около 10^–8 секунди (това е времето, необходимо на радиацията да изчезне с коефициент 1/e). За да дадем малко по-точен пример, за натриева светлина, която има честота 500 THz (500×10¹² трептения в секунда) и дължина на вълната 600 nm (600×10^–9 метър), радиацията ще продължи около 3,2×10^–8 Секунди. [Всъщност това е времето, необходимо на енергията на радиацията да изчезне с фактор 1/e, така че така нареченото време на затихване τ), така че вълновата линия всъщност ще продължи по-дълго, но така амплитудата става доста малка след това време.]

Така че това е много кратко време, но все пак, като се има предвид доста впечатляващата честота (500 THz) на натриевата светлина, това все още прави около 16 милиона трептения и като се има предвид доста впечатляващата скорост на светлината (3×10⁸ m/s), което прави влак с дължина приблизително 9,6 метра. А? 9,6 метра!?

Прав си. Това е невероятно разстояние: това е като безкрайност в атомен мащаб!

Така... Добре... Какво да кажа? Такава дължина със сигурностне може да съответства на картината на фотона като фундаментална частица, която не може да бъде разбита, нали? Така че със сигурност не може да е правилно, защото ако това е така, тогава със сигурност трябва да има някакъв начин да се разбие това нещо и следователно тоне може да бъде "елементарно", нали?

Добре... Може би. Но помислете добре. Първо имайте предвид, че няма да видим фотона като 10-метрова струна, защото той наистина се движи със скоростта на светлината и така ефектът на свиване на дължината осигурява неговата дължина, измерена в нашата референтна рамка (и от каквато и да е "реална" референтна рамка всъщност, защото скоростта на светлината винаги ще бъде c, независимо от скоростите, които ние, смъртните, някога бихме могли да достигнем (включително скорости, близки до c), е нула.

Така че, да, със сигурност трябва да се шегувам тук, но що се отнася до шегите, не мога да не мисля, че този е доста стабилен от научна гледна точка. Отново, моля, проверете отново и ме поправете, но всичко, което съм написал досега, не е чак толкова спекулативно. Това съответства на всичко, което съм чел за него: само един фотон се произвежда на електрон при всяко възбуждане и енергията му се определя от броя на енергийните нива, които пада, както е показано (за обикновен водороден атом) по-долу. За тези, които продължават да са скептични относно здравия ми разум тук, ще цитирам Файнман още веднъж:

"Това, което се случва в източника на светлина, е, че първо един атом излъчва, след това друг атом излъчва и т.н. и току-що видяхме, че атомите излъчват поредица от вълни само за около 10^–8 сек; след 10^–8 sec, вероятно някакъв атом е поел, след това друг атом поема контрола и т.н. Така че фазите наистина могат да останат същите само за около 10^–8 Раздел. Следователно, ако сме средно много повече от 10^–8 sec, не виждаме смущения от два различни източника, защото те не могат да поддържат фазите си стабилни по-дълго от 10^–8 Раздел. С фотоклетките е възможно много високоскоростно откриване и може да се покаже, че има смущения, които варират с времето, нагоре и надолу, за около 10^–8 сек." (Лекциите на Файнман, I-34-4)

Така... Добре... Сега зависи от вас. Тук се съгласявам с предположението, че фотонът във видимия светлинен спектър, от гледна точка на класическия свят, наистина трябва да бъде нещо, което е дълго няколко метра и има няколко милиона трептения. Така че, докато обикновено измерваме нещата в секунди, часове или години, и следователно, докато бихме си помислили 10^–8 секунди са кратки, фотонът всъщност би бил много разтегнат преходен процес, който заема доста място. Трябва също да добавя, че в светлината на това число от десет метра затихването изглежда става доста бавно!

[…]

Виждам те да клатушиш глава по различни причини.

Първо, защото този тип анализ не е подходящ. […] Така си мислиш? Добре... Не знам. Може би си прав. Може би не трябва да се опитваме да мислим за фотона като за нещо различно от дискретен пакет енергия. Но също така знаем, че това е електромагнитна вълна. Така че защо да не стигнем докрай? 

Второ, предполагам, че математиката, включена в тази публикация, може да ви не се хареса, дори и да е доста проста и не правя нищо грандиозно тук. […] Добре... Честно казано, не ми пука. Нека продължа с булдозер. 

Какво ще кажете за "вертикалното" измерение, координатите y и z в пространството? Имаме това дълго извито нещо: колко дебело тяло е?

Тук трябва да внимаваме на езика си. Въпреки че е доста очевидно да се свърже вълна с напречно сечение, което е нормално за посоката й на разпространение, не е очевидно да се свърже фотон със същото нещо. Всъщност изобщо не: тъй като този вектор на електрическото поле E осцилира нагоре и надолу (или се върти в кръг, както е показано на илюстрацията по-долу, което е изображение на кръгово поляризирана вълна), той всъщност не заема никакво място. Всъщност, векторите на електрическото и магнитното поле E и B имат посока и величина в пространството, но те не представляват нещо, което всъщност заема някакво малко или по-голямо ядро в пространството.

Следователно, вертикалната ос на тази графика, показваща вълновия влак, не показва някаква пространствена позиция: това не е y-координата, а величината на вектор на електрическо поле. [Само за да подчертая факта, че величината E няма нищо общо с пространствените координати: забележете, че нейната стойност зависи от единицата, която използваме за измерване на напрегнатостта на полето (така че това е Нютон/Кулон, ако искате да знаете), така че всъщност няма нищо общо с действителната позиция в пространство-времето.]

И така, какво можем да кажем за това? Нищо особено, може би. Но нека опитам.

Напречни сечения в ядрената физика

В ядрената физика терминът "напречно сечение" обикновено се отнася до така нареченото напречно сечение на разсейване на Томпсън на електрон (или всъщност всяка заредена частица), което може да се определи доста свободно като целевата площ за падащата вълна (т.е. фотоните): всъщност това е повърхност, която може да бъде изчислена от това, което се нарича класически електронен радиус. което е около 2.82×10^–15 m. Само за сравнение: може да си спомните или да не си спомните така наречения радиус на Бор на атома, който е около 5,29×10^–11 м, така че това е дължина, която е около 20 000 пъти по-дълга. За да бъда напълно завършен, нека ви дам точната стойност за напречното сечение на разсейване на Томпсън на електрон: 6.62×10^–29 m² (Забележете, че това наистина е повърхност, така че имаме m на квадрат като единица, а не m).

Сега нека ви напомня – още веднъж – че не трябва да свързваме трептенето на вектора на електрическото поле с нещо, което действително се случва в пространството: електромагнитното поле не се движи в среда и следователно не е като водна или звукова вълна, която кара молекулите да се движат нагоре и надолу, докато се разпространяват в средата си. Казано по-просто: няма нищо, което да се извива в пространството, докато този фотон проблясва в пространството. Въпреки това, когато удари електрон, този електрон ефективно ще се "движи" (или ще вибрира, или се извива, или каквото можете да си представите) в резултат на падащото електромагнитно поле.

Това е, което е изобразено и обозначено по-долу: има така наречената "радиална компонента" на електрическото поле и бих казал: това е нашият фотон! [Какво друго би било?] На илюстрацията по-долу е показано, че тази "радиална" компонента е просто E за падащия лъч и че за разпръснатия лъч тя всъщност се определя от движението на електрона, причинено от падащия лъч чрез това отношение, описано по-горе, в което a е нормалната компонента (т.е. нормална на посоката на разпространение на изходящия лъч) на ускорението на електрона.

Сега, преди да продължа, нека ви напомня още веднъж, че горната илюстрация отново е една от онези илюстрации, които искат само да предадат идея и затова не бива да й придаваме твърде голямо значение: светът в най-малък мащаб е най-добре да не се представя с модел на билярдна топка. В допълнение, трябва да отбележа също, че илюстрацията по-горе е взета от статията в Уикипедия за еластичното разсейване (т.е. разсейването на Томсън), което е само частен случай на по-общото Комптъново разсейване, което всъщност се случва. Всъщност това е границата на ниска енергия. Фотоните с по-висока енергия обикновено се абсорбират и след това ще има повторно излъчване, но в процеса ще има загуба на енергия при този "сблъсък" и следователно разсеяната светлина ще има по-ниска енергия (и следователно по-ниска честота и по-голяма дължина на вълната). Но – хей! – сега, като се замисля: това е напълно съвместимо с моята представа за амортизиране, нали? [Ако си мислите, че съм полудял, наистина се шегувам: когато е Комптъново разсейване, няма "изгубена" енергия: електронът ще се отдръпне и следователно инерцията му ще се увеличи. Това е, което е показано по-долу (заслугата е на сайта на HyperPhysics).]

Така... Добре... Може би трябва просто да предположим, че фотонът наистина е дълга вълнова линия (както споменахме по-горе, десет метра наистина е много дълга: изобщо не е атомен мащаб!), но че неговият ефективен "радиус" трябва да бъде от същия ред като класическия радиус на електрона. И така, какъв е този ред? Ако радиусът е повече или по-малко същият, тогава ще бъде от порядъка на фемтометри (1 fm = 1 ферми = 1×10^–15 м). Това е добре, защото това е типична скала за дължина в ядрената физика. Например, той би бил сравним с радиуса на протона. Така че гледаме на фотона тук като на нещо много различно – защото е толкова невероятно дълъг (поне измерен от собствената му референтна рамка) – но като нещо, което има някакъв вид "радиус", който е нормален на посоката му на разпространение и равен или по-малък от класическия електронен радиус. [Сега, като се замисля за това, вероятно трябва да мислим за него като за значително по-малко. Защо? Добре... Електронът очевидно е доста масивен в сравнение с фотона (дори само защото електронът има маса на покой, а фотонът няма) и така... Добре... Когато всичко е казано и направено, електронът е този, който поглъща фотон, а не обратното!]

Този радиус определя областта, в която може да предизвика някакъв ефект, като например удар в електрон или като откриване във фотонен детектор, което е точно това, което е този така наречен радиус на атом или електрон: областта, която е податлива на удар от някаква частица (включително фотон). или който е вероятно да излъчи някаква частица (включително фотон). Какво точно е, не знаем: той все още е призрачен като електрон и следователно няма толкова много смисъл да се говори за точното му положение в пространството. Въпреки това, ако говорим за нейната позиция, тогава очевидно трябва да се позовем и на принципа на неопределеността, който ще ни даде някои горни и долни граници за нейната действителна позиция, точно както прави за всяка друга частица: несигурността относно нейната позиция ще бъде свързана с несигурността за нейния импулс и повече знания за първата, волята предполага по-малко знания за последното и обратното. Следователно можем да свържем и някаква сложна вълнова функция с този фотон, която е – за всички практически цели – вълна на дьо Брой. Сега как трябва да визуализираме тази вълна?

Добре... Не знам. Всъщност няма да предложа нищо конкретно тук. Първо, всичко е спекулация. Второ, мисля, че вече съм написал твърде много глупости. Въпреки това, ако все още четете и харесвате този вид неортодоксално приложение на електромагнетизма, тогава следните забележки могат да стимулират въображението ви.

Първото нещо, което трябва да се отбележи е, че не трябва да получаваме вълнова функция, която на квадрат ни дава постоянна вероятност за всяка точка в пространството. Не. Вълновата функция трябва да бъде ограничена в пространството и следователно тук говорим и за вълнов влак, и то много кратък в този случай. Така... Добре... Какво ще кажете за свързването на амплитудата му с амплитудата на полето за фотона. С други думи, амплитудата на вероятността може би може да бъде пропорционална на амплитудата на E, като коефициентът на пропорционалност се определя от (а) единицата, в която измерваме E (т.е. нютон/кулон) и (б) условието за нормализация.

Добре. Чувам ви да го казвате сега: "Ха-ха! Хванах те! Сега наистина говориш глупости! Как може комплексно число (амплитудата на вероятността) да бъде пропорционално на някакво реално число (напрегнатостта на полето)?"

Добре... Бъдете креативни. Не е толкова трудно да си представим някои връзки. Първо, векторът на електрическото поле има както величина, така и посока. Следователно, има нещо повече от неговата величина. Второ, трябва да отбележите, че реалната и въображаемата част на комплексна вълнова функция е проста синусоидална и косинусна функция, така че тези две функции са еднакви в действителност, с изключение на фазовата разлика от π/2. С други думи, ако имаме формула за реалната част на вълновата функция, имаме формула и за нейната въображаема част. Така... Вашата забележка е по същество, а след това не е.

Добре, ще кажете, но тогава как точно бихте свързали вектора E с функцията ψ(x, t) за фотон. Добре... Честно казано, сега съм малко изтощен и затова ще оставя всякакви допълнителни спекулации на вас. Цялата идея за вълна на Дьо Бройл от фотон, с (комплексна) амплитуда, имаща някаква "пропорционална" връзка с (величината на) вектора на електрическото поле, има смисъл за мен, въпреки че ще трябва да бъдем иновативни за това каква точно е тази "пропорционалност".

Нека завърша тази спекулативна работа, като отбележа още няколко неща за нашата "преходна" електромагнитна вълна:

1. Първо, очевидно е, че обичайните връзки между (а) енергия (W), (б) честота (f) и (в) амплитуда (A) са валидни. Ако увеличим честотата на вълната, ще имаме пропорционално увеличение на енергията (два пъти честотата е два пъти по-голяма от енергията), като коефициентът на пропорционалност се дава от отношението на Планк-Айнщайн: W = hf. Но ако говорим за амплитуди (за които нямаме формула, поради което се занимаваме с тези предположения за формата на преходната вълна), не трябва да забравяме, че енергията на вълната е пропорционална на квадрата на нейната амплитуда: W ∼ A². Следователно, линейното увеличение на амплитудите води до експоненциално (квадратично) увеличение на енергията (например, ако удвоите всички амплитуди, ще опаковате четири пъти повече енергия в тази вълна).

2. И двата фактора влизат в игра, когато електрон излъчва фотон. Всъщност, ако разликата между двете енергийни нива е по-голяма, тогава фотонът не само ще има по-висока честота (т.е. тогава говорим за светлина (или електромагнитно излъчване) в горните диапазони на спектъра), но също така трябва да се очаква, че първоначалното превишаване – и следователно първоначалното трептене – също ще бъде по-голямо. Накратко, ще имаме по-големи амплитуди. Следователно фотоните с по-висока енергия ще съдържат още повече енергия предварително. Те също ще имат по-висока честота, поради връзката на Планк. Така че, да, и двата фактора ще влязат в игра.

Какво ще кажете за дължината на тези влакове на вълните? Ще ги направи ли по-къси? Да. Ще ви насоча към лекциите на Файнман, за да проверя, че дължината на вълната се появява в числителя на формулата за Q. Следователно по-високата честота означава по-къса дължина на вълната и следователно по-ниска Q. Сега, не съм съвсем сигурен (не съм сигурен за нищо, което пиша тук), но това може да е или не може да е причината за още едно твърдение, което никога не съм разбрал напълно: за фотоните с все по-висока и по-висока енергия се казва, че стават все по-малки и по-малки, а когато достигнат скалата на Планк, се казва, че се превръщат в черни дупки.

Хм... Трябва да проверя това.

Извод

И така, какъв е изводът? Добре... Ще оставя на вас да помислите за това. Както казах, сега съм малко уморен и затова просто ще завърша това, тъй като този пост така или иначе стана твърде дълъг. Позволете ми, преди да се разделя, да предложа следното смело предложение по отношение на намирането на вълна на Бройл за нашия фотон: може би този преходен процес по-горе всъщност е вълновата функция.

Ще кажете: Какво!? Какво ще кажете за нормализацията? Всички вероятности трябва да се съберат до едно и със сигурност тези величини на вектора на електрическото поле няма да се съберат до единица, нали?

Моят отговор на това е прост: това е само въпрос на единици, т.е. наистина на нормализация. Така че просто измерете напрегнатостта на полето в някоя друга единица и ще се оправи.

[...] Но... Да? Какво? Добре... Тези величини са реални числа, а не комплексни числа.

Не съм сигурен как да отговоря на този въпрос, но има две неща, които мога да кажа:

1. Реалните числа също са комплексни числа: просто тяхната въображаема част е нула.
2. Когато работим с вълни и особено с преходни процеси, винаги сме ги представяли с помощта на комплексната експоненциална функция. Например, бихме записали вълнова функция, чиято амплитуда варира синусоидално в пространството и времето катоA e^{i(ωt−k·r)}, с ω (ъгловата) честота и k числото на вълната (така че това е дължината на вълната, изразена в радиани на единица разстояние).

Така че, честно казано, помислете за това: къде е фотонът? Това е онзи десетметров преходен процес, нали? А вероятността да го намерим някъде е (абсолютният) квадрат на някакво комплексно число, нали? И тогава вече имаме вълнова функция, представляваща електромагнитна вълна, за която знаем, че енергията, която тя съдържа, е квадратът на нейната амплитуда, както и пропорционална на нейната честота. Също така знаем, че е по-вероятно да открием нещо с висока енергия, отколкото нещо с ниска енергия, нали? Така... Кажете ми защо самият преходен процес не би направил добра пси-функция?

Но какво да кажем за тези вероятностни амплитуди, които са функция на координатите y и z?

Добре... Честно казано, започнах да се чудя дали фотонът наистина има радиус. Ако няма маса, това вероятно е единствената истинска точковидна частица (т.е. частица, която не заема никакво пространство) – за разлика от всички други частици материя, които имат маса.

Защо?

Не знам. Нямам идея. Може би нашите концепции за амплитуда и честота на фотона не са много уместни. Може би само енергията е от значение. Знаем, че фотонът има повече или по-малко добре определено енергийно ниво (в границите на принципа на неопределеността) и следователно нашите идеи за това как тази енергия всъщност се разпределя по честотата, амплитудата и дължината на този "преходен" процес нямат връзка с реалността. Може би ни харесва да мислим за фотона като за преходна електромагнитна вълна, защото сме свикнали да мислим от гледна точка на вълни и полета, но може би фотонът наистина е просто точковидно нещо, с вълнова функция, която има същата форма като този преходен процес.

Post scriptum: Може би трябва да ви се извиня, скъпи читателю. Очевидно е, че в квантовата механика не мислим за фотона като за притежаващ някаква честота, някаква дължина на вълната и някакво измерение в пространството: това е просто елементарна частица с енергия, взаимодействаща с други елементарни частици с енергия и ние използваме тези константи на свързване и какво трябва да работим с тях. Така че обикновено не мислим за фотоните като за преходни процеси с дължина десет метра, движещи се в пространството. Така че, когато пиша, че "нашите концепции за амплитуда и честота на фотона може би не са много уместни", когато се опитваме да си представим фотон, и че "може би само енергията е от значение", всъщност нямам предвид "може би" или "може би". Искам да кажа: Разбира се! […] В квантово-механичния светоглед тоест.

Така че се извинявам, че може би публикувам нещо, което може или не може да представлява обикновена глупост. Въпреки това, тъй като всички тези глупости ми помагат да разбера тези неща сам, просто ще продължа. Изглежда, че се движа много бавно по този Път към реалността, но хубавото на бавното движение е, че това ще ми даде "по-дълбокото" разбиране, което искам, т.е. разбиране отвъд формулите, математическите и физическите модели. В крайна сметка това е всичко, към което се стремя, когато се занимавам с това мое "хоби". Нито повече, нито по-малко. Нататък!

Част от съдържанието на тази страница беше деактивирано на 17 юни 2020 г. и 20 юни 2020 г. в резултат на известие за сваляне съгласно DMCA от Майкъл А. Готлиб, Рудолф Пфайфър и Калифорнийския технологичен институт. Можете да научите повече за DMCA тук:

https://wordpress.com/support/copyright-and-the-dmca/

Редактирано Август 10, 2024 от Станислав Янков

[Станислав Янков]

Долното е интересен пасаж, който ми се струва напълно използваем, както множество други неща от този автор. Целия му материал е в следващия линк:

https://readingfeynman.org/2021/11/26/post-scriptum

Засега не съм съгласен с генералните му заключения (освен че отрича принципа на неопределеността като същностен, което ми се струва недостатъчно аргументирано (прибързано), той също така счита електроните за двуизмерни форми, а протоните и неутроните за триизмерни форми. Това може да има някакъв резон от гледна точка на различни подходи, използвани в квантовата механика до момента, но не може да представлява една пълноценна и завършена картина на нещата (според мен завършена картина трябва да използва единен хиперизмерен /над-триизмерен/ подход и не би трябвало да ползва различни размерности за различни случаи, камо ли пък под четири измерения). Независимо от наличието на редица мои несъгласия с написаното досега от този автор, полезните и употребими неща са също много и едно от тях е следващото:

“…„несигурността“, както е моделирана в Принципа на несигурността, трябва да бъде някакъв вид статистически детерминизъм: какво друго може да бъде? Перифразирайки думите на Х. А. Лоренц, по повод Конференцията на Солвей през 1927 г., няколко месеца преди смъртта му, всъщност няма нужда да се издига индетерминизмът до философски принцип: учените трябва да поддържат детерминизма трябва да се съхранява като „обект“ на вярата.' Това е целта на науката. Всичко, което е необходимо, е да заменим нашата представа за предсказуемост с представата за статистически детерминизъм: вече не можем да предвидим какво ще се случи, защото можем или не знаем първоначалните условия, или защото нашите измервания нарушават явлението, което анализираме. , но това е. Няма нищо повече от това. Ето какво представлява вече доста скандалният принцип на несигурността на Хайзенберг: това е точно това, което той самият първоначално мислеше за него .

Намерих метафората за бързовъртящо се самолетно витло за много подходяща [1] и няколко души, които ми писаха, също казаха, че това ги е накарало да разберат за какво става дума. Човек не може да каже къде точно са остриетата и ако стреляте с куршуми през него, тези куршуми или ще ударят острието и ще се отклонят, или просто ще преминат направо. Трета възможност няма. Можем да опишем движещото се витло само по отношение на някаква плътност в пространството. Ето защо вероятностите в квантовата физика са пропорционални на плътностите на масата или, което се равнява на същото поради отношението на еквивалентност маса-енергия на Айнщайн, плътностите на енергията .

Метафората с перката е полезна и в други контексти. Това обяснява например квантово-механичното тунелиране: ако някой мисли за частиците материя като точкови заряди в движение – което правим [2] – тогава полетата, които ги заобикалят, ще бъдат динамични и следователно ще бъдат също като витло : в една конкретна точка в пространството и във времето полето ще има величина и посока, които няма да позволят на друга частица (мислете за нея като куршум) да премине – тъй като полето действа като сила върху заряда – но „дупки се появяват в стената“, така да се каже, и те го правят по регулярен начин, след което кинетичната енергия на входящата частица – макар и по-ниска от среднатапотенциална енергия на бариерата – ще я пренесе. Следователно няма нищо странно или мистериозно в тунелирането.

 

[1] Изтеглих изображението от уебсайт за продажба на коледни подаръци преди много време и не можах да проследя откъде го имам. Ако някой разпознае това като свояснимка, моля, уведомете ни и ние ще признаем източника или ще я премахнем.

[2] Частиците са малки – многомалки – но не безкрайномалки: те имат ненулево пространствено измерение и структура ! Само светлоподобните частици – фотони и неутрино – са наистина точковидни, но дори те имат структура , докато се разпространяват в релативистичното пространство-време.“

Редактирано Август 16, 2024 от Станислав Янков

[Станислав Янков]

https://readingfeynman.org/2014/03/25/an-easy-piece-on-the-wave-function/

Както се вижда от долния текст (оригиналът е зад горния линк) - човекът доста добре е разбрал основните квантово-механични положения преди години, когато е започнал да се запознава с материята! Много странно, как в един момент се е преобърнал към по-старите опити да се обяснят елементарните частици (без кварки и чрез неутрон, съставен от протон и “дълбок” електрон)! Много е интересно да се видят същностните му мотиви! Иначе, някои от заключенията и сметките му имат смисъл, но когато нещата се интерпретират чрез моя подход, с четири или повече пространствени измерения и универсален темп на движение на материята във Вселената единствено със скоростта на светлината във вакуум (подсветлинните скорости на макрониво са резултат от асиметрична геометрия, при която изглежда, че по координатата, асоциирана с четвърто измерение, протяжността на Вселената е много по-съкратена в сравнение с протяжността на същата по останалите три координати, асоциирани с останалите три пространствени измерения). Тогава неговото твърдение за грешна представа за вълновата функция на неопределеността като линейна, вместо като ротационна (орбитална, кръгова) придобива доста по-конкретен смисъл. Изглежда грешката му е, че и той отчаяно се старае да представя нещата в три пространствени измерения и време и от там излизат купищата проблеми, в които в крайна сметка затъва и той.

Както и да е - ето негов доста ранен текст, който показва, че в началото е подходил доста старателно към усвояването на квантово-механичните тънкости:

”Лесно парче: представяне на квантовата механика и вълновата функция

Pre-scriptum (с дата 26 юни 2020 г.): Бърз поглед към това произведение – толкова години след като съм го написал – ми казва, че по принцип е ОК. Съвсем очевидно е обаче, че по отношение на  тълкуването на математиката съм изминал много дълъг път. Въпреки това, бих ви препоръчал да преминете през парчето, така че наистина да получите основната математика и тогава може да сте готови или да не сте готови за пълното развитие на моята реалистична или класическа интерпретация на QM . Моят ръкопис също може да бъде забавно четиво за вас.

Оригинален пост :

След всички тези скучни статии по математика, крайно време е да се върна към физиката. Наистина, за какво са полезни всички тези неща за диференциални уравнения и комплексни числа? Този блог трябваше да бъде едно пътуване във физиката, нали? да Но вълновите функции – функции, описващи физически вълни (в класическата механика) или вероятностни амплитуди (в квантовата механика) – са решението на някакво диференциално уравнение и обикновено включват нотация с комплексни числа. Съгласен съм обаче, че сега ни е достатъчно. Нека да видим как работи. Между другото, заглавието на тази публикация – Лесно парче – е очевидна препратка към (някои от) Лекциите по физика на Файнман от 1965 г., някои от които бяха преопаковани през 1994 г. (т.е. шест години след смъртта му) в „Шест Наистина Easy Pieces – но, IMHO, има по-голям смисъл да ги прочетете всички като част от цялата поредица.

Нека първо да разгледаме една от най-използваните математически форми: синусоидалната вълна. Илюстрацията по-долу показва основните понятия: тук имаме вълна – някакво циклично нещо – с дължина на вълнатаλ, амплитуда (или височина) от (максимум) A ₀ и така нареченото фазово изместване, равно на φ. Определението на Уикипедия за вълна е следното: „вълната е смущение или трептене, което се движи през пространството и материята, придружено от пренос на енергия.“ Наистина, една вълна пренася енергия, докато се движи (о, забравих да спомена скоростта или скоростта на вълната ( v ) като важна характеристика на вълната), а енергията, която носи, е право пропорционална на квадрата на амплитудата на вълната: E ∝ A ² (това е вярно не само за вълни като водни вълни, но и за електромагнитни вълни, като светлина).

Нека сега да разгледаме как тези променливи влизат в аргумента – буквално: в аргумента на вълновата функция. Нека започнем с това фазово отместване. Фазовото изместване обикновено се дефинира като се отнася до друга вълна или референтна точка (в този случай началото на оста x и y). Наистина, амплитудата – или „височината“, ако искате (помислете за водна вълна или силата на електрическото поле) – на вълната по-горе зависи от (1) времето t (не е показано по-горе) и (2) местоположение (x), но ще трябва да имаме това фазово отместване φ в аргумента на вълновата функция, защото при x = 0 нямаме нулева  височина за вълната. И така, както виждаме, можем да изместим оста х наляво или надясно с това φ. добре Това е достатъчно просто. Нека сега да разгледаме другите независими променливи: време и позиция.

Височината (или амплитудата) на вълната очевидно ще варира както във времето, така и в пространството. На тази графика ние фиксирахме времето (t = 0) – и така то  не се появява като променлива на графиката – и показваме как амплитудата y = A варира в пространството (т.е. по оста x). Можехме също така да разгледаме само едно място (x = 0 или x ₁ или каквото и да е друго местоположение) и да покажем как амплитудата варира във времето  само на това място . Графиката ще бъде много подобна, с изключение на това, че ще имаме „времево разстояние“ между два гребена (или между две падини или между други две точки, разделени от пълен цикъл на вълната) вместо дължината на вълната λ (т.е. разстояние в пространство). Това „времево разстояние“ е времето, необходимо за завършване на един цикъл и се нарича период на вълната (обикновено означаван със символа T или T ₀  – в съответствие с обозначението за максимална амплитуда A ₀ ). С други думи, ние също ще видим време (t), както и местоположение (x) в аргумента на тази функция на косинус или синусоида. Между другото, струва си да се отбележи, че няма значение дали използваме синусова или косинусова функция, защото можем да преминем от едната към другата, използвайки основните тригонометрични идентичности cos θ = sin(π/2 – θ) и sin θ = cos(π/2 – θ). Така че всички вълни с формата по-горе се наричат синусоидални вълни, дори ако в повечето случаи конвенцията е действително да се използва функцията косинус за представянето им.

Така че ще имаме x, t и φ в аргумента на вълновата функция. Следователно, можем да запишем A = A(x, t, φ) = cos(x + t + φ) и ето ни, нали? Ами… Не. Тук добавяме много различни единици: времето се измерва в секунди, разстоянието в метри, а фазовото отместване се измерва в радиани (т.е. избраната единица за ъгли). Така че не можем просто да ги съберем. Аргументът на тригонометрична функция (като тази косинусова функция) е ъгъл и следователно трябва да получим всичко в радиани – защото това е единицата, която използваме за измерване на ъгли. И така, как да направим това? Нека го направим стъпка по стъпка.

Първо, струва си да се отбележи, че вълните обикновено се причиняват  от нещо. Например, електромагнитните вълни се причиняват от осцилиращ точков заряд някъде и се излъчват оттам. Физическите вълни – като водните вълни или осцилиращата струна – обикновено също имат някакъв произход. Всъщност можем да разглеждаме вълната като начин за предаване на енергия, произхождаща от друго място. В случая тук – т.е. хубавата правилна синусоидална вълна, илюстрирана по-горе – е очевидно, че амплитудата в даден момент t = t ₁  в дадена точка x = x ₁  ще бъде същата като амплитудата на тази вълна в точка x = 0 преди време . преди колко време? Ами… Времето (t ₀  ), необходимо на тази вълна да премине от точка x = 0 до точка x = x _1,  е лесно за изчисляване: наистина, ако вълната е възникнала при t = 0 и x = 0, тогава x ₁ (т.е. разстоянието, изминато от вълната) ще бъде равно на нейната скорост ( v ), умножена по t ₁ , така че имаме x ₁ = vt ₁(обърнете внимание, че приемаме, че скоростта на вълната е постоянна – което е много разумно предположение). С други думи, вмъкването на x ₁ и t ₁  в аргумента на нашата косинусова функция трябва да даде същата стойност като вмъкването на нула за x и t. Разстоянието и времето могат да бъдат заменени, така да се каже, и това е, че ще имаме нещо като x – v t или v t – x в аргумента в тази косинус функция: ние измерваме и времето, и разстоянието в единици за разстояние, така да се каже. [Обърнете внимание, че x – v t и –(x- v t) = v t – x са еквивалентни, защото cos θ = cos (-θ)]

Звучи ли това странно? Не би трябвало. Помислете за това. В уравнението на (електрическото) поле за електромагнитно излъчване (това е един от примерите за вълна, която споменах по-горе), ще намерите така нареченото забавено ускорение a (t – x/ c ) в аргумента: това е ускорението ( a ) на заряда, каращ електрическото поле в точка x да се промени не в момент t, а  в момент t – x/c . Така че това наистина е забавеното ускорение: x/ c е времето, необходимо на вълната да измине от своя произход (осцилиращия точков заряд) до x и така изваждаме това от t. [Когато говорим за електромагнитно излъчване (напр. светлина), скоростта на вълната v очевидно е равна на c, т.е. скоростта на светлината или на електромагнитното излъчване като цяло.] Разбира се, сега ще възразите, че t – x / c не е същото като  v t – x и си прав: имаме нужда от единици време в аргумента на тази функция за ускорение, а не разстояние. Можем да стигнем до единици за разстояние, ако умножим времето със скоростта на вълната v, но това е сложна работа, защото скоростта на този движещ се точков заряд не  е константа.

[…] Не съм сигурен дали се изразих ясно тук. Ако не, така да бъде. Нещото, което трябва да запомните е, че имаме нужда от вход, изразен в радиани за нашата косинусова функция, а не време или разстояние. Наистина, аргументът във функция синус или косинус е ъгъл , а не някакво разстояние. Ще наричаме този ъгъл фазата  на вълната и обикновено се означава със символа θ – който също използвахме по-горе. Но досега говорихме за амплитудата като функция на разстоянието и изразихме времето също в единици за разстояние – като го умножим с v . Как можем да отидем от известно разстояние до някакъв ъгъл? Просто е: ще умножим x – v t с 2π/λ.

а? да Помислете за това. Дължината на вълната ще бъде изразена в единици за разстояние – обикновено 1 m в Международната система от единици SI, но може също да бъде ангстрьом (10 ^–10 m = 0,1 nm) или нанометър (10 ^–9  m = 10 Å). Дължина на вълната от два метра (2 m) означава, че вълната завършва само половин цикъл на метър пътуване. Така че трябва да преведем това в  радиани , което – отново – е мярката, използвана за... ами... измерване на ъгли или фазата на  вълната, както я наричаме тук. И така, каква е "единицата" тук? Добре… Не забравяйте, че можем да добавяме или изваждаме 2π (и всяко кратно на 2π, т.е. ± 2nπ с n = ±1, ±2, ±3,…) към аргумента на всички тригонометрични функции и ще получим същата стойност като за първоначалния аргумент. С други думи, цикъл, характеризиращ се с дължина на вълната λ, съответства на ъгъла θ, обикалящ началото и описващ един пълен кръг, т.е. 2π радиана. Следователно е лесно: можем да преминем от разстояние към радиани, като умножим нашия „аргумент за разстояние“ x – vt с 2π/λ. Ако не сте убедени, просто го разберете за примера, който дадох: ако дължината на вълната е 2 m, тогава 2π/λ е равно на 2π/2 = π. Така че изминаването на 6 метра по вълната – т.е. оставяме x да се движи от 0 до 6 m, докато фиксираме нашата времева променлива – съответства на нашата фаза θ, преминаваща от 0 до 6π: както „аргументът за разстояние“, така и промяната във фазата покриват три цикъла (три пъти по два метра за разстоянието и три пъти по 2π за промяната във фазата) и така сме добре. [Друг начин да мислим за това е да запомним, че  обиколката  на единичната окръжност също е равна на 2π (2π·r = 2π·1 в този случай), така че съотношението на 2π към λ измерва колко пъти обиколката съдържа дължина на вълната.]

Накратко, ако поставим времето и разстоянието във формулата (2π/λ)(x- v t), ще получим всичко в радиани и това е, което ни трябва за аргумента за нашата функция косинус. Така че нашата синусоидална вълна по-горе може да бъде представена чрез следната косинусова функция:

A = A(x, t) = A ₀ cos[(2π/λ)(x- vt)]

Можем също да запишем A = A ₀ cosθ с θ = (2π/λ)(x- v t). […] И двете изображения изглеждат доста грозни, нали? Те го правят. И това не е само грозно: това не е и стандартното представяне на синусоидална вълна. За да изглежда „хубаво“, трябва да въведем още някои понятия тук, по-специално ъгловата честота и вълновото число . Така че нека го направим.

Ъгловата честота е точно като… ами… честотата, с която сте свикнали, т.е. „неъгловата“ честота f , измерена в цикли в секунда (т.е. в херци). Въпреки това, вместо да измерва промяната в цикли за секунда , ъгловата честота (обикновено означавана със символа ω) ще измерва скоростта на промяна на фазата с времето, така че можем да запишем или дефинираме ω като ω = ∂θ/∂t. В този случай можем лесно да видим, че ω = –2πv/λ. [Имайте предвид, че ще вземем абсолютната стойност на тази производна, защото искаме да работим с положителни числа за такива свойства на функции.] Изглежда ли това сложно? Ако се съмнявате, просто помнете, че ω се измерва в радиани за секунда и тогава вероятно ще можете по-добре да си представите какво е всъщност. Друг начин да разберем ω малко по-добре е да запомним, че произведението на ω и периода T е равно на 2π, така че това е пълен цикъл. Наистина, времето, необходимо за завършване на един цикъл, умножено по промяната на фазата за секунда (т.е. за единица време), е еквивалентно на обикаляне на пълния кръг: 2π = ω.T. Тъй като f = 1/T, можем също да свържем ω с f и да напишем ω = 2π. f = 2π/T .

По същия начин можем да измерим скоростта на промяна на фазата с разстоянието и това ни дава вълновото число k = ∂θ/∂x, което е като пространствената честотана вълната. Така че е точно като дължината на вълната, но след това се измерва в  радиани на единица разстояние. От функцията по-горе е лесно да се види, че k = 2π/λ . Тълкуването на това равенство е подобно на равенството ω.T = 2π. Наистина, имаме подобно уравнение за k: 2π = k.λ, така че дължината на вълната (λ) за k е това, което е периодът (T) за ω. Ако все още се чувствате неудобно с това, просто си поиграйте малко с някои числови примери и ще се оправите.

Накратко, това ни позволява да пренапишем уравнението на синусоидалната вълна по-горе в окончателната му форма (и позволете ми да включа отново фазовото изместване φ, за да бъда възможно най-пълен на този етап):

A(x, t) = A ₀ cos(kx – ωt + φ)

Ще се съгласите, че това изглежда много „по-хубаво“ – а също и повече в съответствие с това, което ще намерите в учебниците или в Уикипедия. Трябва да отбележа обаче, че тук не добавяме нови параметри. Вълновото число k и ъгловата честота ω не са независими: това все още е същата вълна (A = A ₀ cos[(2π/λ)(x-vt)]) и затова не въвеждаме нищо повече от честотата и – също толкова важно – скоростта, с която се движи вълната, която обикновено се нарича фазова скорост . Всъщност е съвсем очевидно от идентичностите ω.T = 2π и k = 2π/λ, че kλ = ω.T и следователно, като се вземе предвид, че λ очевидно е равно на λ = v .T (дължината на вълната е – по дефиниция – разстоянието, изминато от вълната за един период), намираме, че фазовата (или вълновата) скорост v е равна на отношението на ω и k, така че имаме, че v = ω/k. Така че x, t, ω и k могат да бъдат преувеличени или така, но съотношението им не може да се промени: скоростта на вълната е такава, каквато е. Накратко, въвеждам две нови концепции и символи (ω и k), но няма нови степени на свобода в системата, така да се каже.

[В този момент вероятно трябва да кажа нещо за разликата между фазовата скорост и така наречената групова скорост на вълната. Нека го направя по възможно най-краткия начин. Повечето вълни в реалния живот пътуват като вълнов пакет , известен още като  вълнов влак . Така че това е като изблик или „обвивка“ (безсрамно цитирам Wikipedia тук…), на „локализирано вълново действие, което пътува като единица“. Такъв вълнов пакет няма единично число на вълната или дължина на вълната: той всъщност се състои от (голям) набор от вълни с фази и амплитуди, така че да се намесват конструктивно само в малък регион от пространството и разрушително другаде. Известният анализ на Фурие (или скандално известен, ако имате проблеми с разбирането какво всъщност представлява) разлага този вълнов влак на по-прости части. Въпреки че всички тези „по-прости“ части – които заедно образуват вълновата поредица – са „хубави“ синусоидални вълни (затова ги наричам „прости“), вълновият пакет като такъв не е такъв. Във всеки случай (не мога да бъда твърде дълъг с това), скоростта, с която този  вълнов влак се движи през пространството, се нарича  групова скорост . Фазовата скорост и груповата скорост обикновено са много различни: например вълнов пакет може да се движи напред (т.е. неговата групова скорост е положителна), но фазовата скорост може да е отрицателна, т.е. да се движи назад. Въпреки това ще спра тук и ще се позова на статията в Уикипедия за груповата и фазовата скорост: тя има прекрасни илюстрации, които са много и много по-добри от всичко, което бих могъл да напиша тук. Само една последна точка, която ще използвам по-късно: независимо от формата на вълната (синусоидална, зъбна или каквато и да е), имаме много очевидна връзка, свързваща дължината на вълната и честотата с (фазовата) скорост: v = λ. f или f= v /λ. Например, честотата на вълна, движеща се с 3 метра в секунда и дължина на вълната от 1 метър, очевидно ще има честота от три цикъла в секунда (т.е. 3 Hz). Нека сега се върнем към основната сюжетна линия.]

С доста дългото „въведение“ във вълните по-горе, вече сме готови за нещото, което наистина исках да представя тук. Ще вървя много по-бързо сега, след като покрихме основите. да тръгваме

От предишните ми публикации за комплексни числа (или от това, което вече знаете за комплексните числа), ще разберете, че работата с косинусови функции е много по-лесна, когато ги записвате като реална част от комплексно число A ₀ e ^i θ  = A ₀ e ^{i (kx –  ωt + φ)} . Наистина, A ₀ e ^i θ  = A ₀ (cosθ + isinθ) и така функцията косинус по-горе не е нищо друго освен реалната част от комплексното число A ₀ e ^i θ . Работата с комплексни числа прави добавянето на вълни и изчисляването на ефектите на интерференция и каквото и да искаме да правим с тези вълнови функции много по-лесно: ние просто заместваме косинус функциите с комплексни числа във всички формули, решаваме ги (алгебрата с комплексни числа е много проста) и след това разглеждаме реалната част от решението, за да видим какво се случва в действителност. Ние не се интересуваме от въображаемата част, защото тя няма връзка с действителните физически величини – за физическите и електромагнитните вълни, или за всеки друг проблем в класическата вълнова механика. Готово. Така че в класическата механика използването на комплексни числа е просто математически инструмент.

Сега, това не  е случаят с вълновите функции в квантовата механика : въображаемата част от вълново уравнение – да, позволете ми да запиша едно тук – като Ψ = Ψ(x, t) = (1/x) e ^{i (kx – ωt)}  е неразделна част от така наречената вероятностна амплитуда  , която описва състоянието на системата тук. Всъщност тази функция Ψ е пример, взет от една от първите лекции на Файнман по квантова механика (т.е. том III от неговите лекции) и в този случай Ψ(x, t) = (1/x) e ^{i (kx – ωt)} представлява амплитудата на вероятността малка частица (напр. електрон), която се движи свободно в пространството – т.е. без външни сили, действащи върху нея – да премине от 0 до x и действително  да бъде  в точка x в момент t. [Забележете как варира обратно пропорционално на разстоянието поради фактора 1/x, така че има смисъл.] Всъщност, когато започнах да пиша този пост, целта ми беше да представя този пример – защото той илюстрира концепцията за вълновата функция в квантовата механика по доста лесен и сравнително разбираем начин. Така че нека да го направим.

Първо, необходимо е да се разбере разликата между вероятностите  и амплитудите на вероятностите . Всички знаем какво е вероятност: това е  реално число между o и 1, изразяващо шанса нещо да се случи. Обикновено се обозначава със символа P. Пример е вероятността монохроматична светлина (т.е. един или повече фотони с еднаква честота) да се отрази от лист стъкло. [За да бъдем точни, тази вероятност е между 0 и 16% (т.е. P = 0 до 0,16). Всъщност този пример идва от друга чудесна публикация на Ричард Фейнман – QED (1985) – в която той обяснява как можем да изчислим точната вероятност, която зависи от дебелината на листа.]

Амплитудата на вероятността  е нещо различно. Амплитудата на вероятността е комплексночисло (3 + 2 i , или 2,6 e ^i 1,34 , например)  и – за разлика от своя еквивалент в класическата механика – както реалната, така и въображаемата част имат значение. Като се има предвид това, вероятностите и амплитудите на вероятността очевидно са свързани: за да бъдем точни, човек изчислява  вероятността дадено събитие действително да се случи, като вземе на квадрат модула (или абсолютната стойност) на амплитудата на вероятността , свързана с това събитие. а? да Просто го оставете да потъне. Така че, ако означим вероятната амплитуда с Φ, тогава имаме следната връзка:

P =|Φ| ²

P = вероятност

Φ = амплитуда на вероятността

Освен това, където бихме добавили и умножили вероятности в класическия свят (например, за да изчислим вероятността за събитие, което може да се случи по два различни начина – алтернатива 1 и алтернатива 2 да кажем – просто бихме добавили отделните вероятности, за да стигнем при вероятност събитието да се случи по един или друг начин, така че P = P ₁ + P ₂ ), в света на квантовата механика трябва да събираме и умножаваме  амплитудите на вероятността и след това да вземаме на квадрат модула на тази комбинирана амплитуда за изчисляване на комбинираната вероятност. Така че, формално, вероятността една частица да достигне дадено състояние по два възможни маршрута (маршрут 1 или маршрут 2 да кажем) трябва да се изчисли, както следва:

Φ = Φ ₁ + Φ ₂

и P =|Φ| ²  =|Φ ₁ + Φ ₂ | ²

Също така, когато имаме само един маршрут, но този един маршрут се състои от два последователни етапа (например: за да премине от A до C, частицата първо трябва да премине от A до B, а след това от B до C, с различни вероятности за реално случване на етап AB и етап BC), ние няма да умножаваме вероятностите (както бихме направили в класическия свят), а  амплитудите на вероятността . Така че имаме:

Φ = Φ _AB  Φ _BC

и P =|Φ| ²  =|Φ _AB  Φ _BC | ²

Накратко, вероятностните амплитуди (и, както споменахме, това са комплексни числа, а не реални числа), които трябва да се събират и умножават и т.н. и следователно, вероятностните амплитуди действат като еквивалент, така да се каже, в квантовата механика, на конвенционалните вероятности в класическата механика. Разликата не  е тънка. Съвсем не. Няма да се спирам много на това. Просто прочетете отново всеки разказ за експеримента с двоен прорез с електрони, който може да сте чели, и ще си спомните колко фундаментално е това. [Между другото, бях изненадан да науча, че експериментът с двоен процеп с електрони очевидно е бил направен едва през 2012 г. точно  по начина, по който го описва Файнман. Така че, когато Файнман го описа в своите Лекции от 1965 г., това все още беше само „мисловен експеримент“ – дори експеримент от 1961 г. (неспоменат от Файнман) ясно установи реалността на електронната интерференция.]

добре Да продължим. Така че имаме тази сложна вълнова функция в квантовата механика и, както пише Файнман, „Това не е като истинска вълна в пространството; човек не може да си представи каквато и да е реалност за тази вълна, както за звукова вълна. Като се има предвид това, човек може обаче да се доближи доста до „представянето“ какво всъщност е IMHO. Да вземем примера, който Файнман дава – на същата страница, на която всъщност пише горното. Амплитудата за свободна частица (т.е. без сили, действащи върху нея) с импулс p  = m v   за преминаване от местоположение r ₁  до местоположение  r ₂  е равна на

Φ ₁₂  = (1/r ₁₂ ) e ^{i p . r ₁₂ /ħ}  с r ₁₂  =  r ₂  – r ₁ 

Съгласен съм, че това отново изглежда малко грозно, но какво казва? Първо, имайте предвид разликата между получер и нормален шрифт: пиша p  и v с удебелен шрифт по-горе, защото те са вектори: имат величина (която ще обознача съответно с p и v), както и посока  в пространството . По същия начин, r ₁₂  е вектор , преминаващ от r ₁ към  r ₂  (и  самите r ₁  и  r ₂  са самите пространствени вектори очевидно) и така r ₁₂(неудебелено) е величината на този вектор. Имайки това предвид, ние знаем, че точковият продукт  p. r ₁₂  е равно на произведението от величините на тези вектори, умножено по cosα, като α е ъгълът между тези два вектора. Следователно, p. r ₁₂   .= pr ₁₂.cosα. Сега, ако  p и r ₁₂  имат една и съща посока, ъгълът α ще бъде нула и така cosα ще бъде равно на едно и така имаме просто p. r ₁₂  = pr ₁₂ или, ако разглеждаме частица, която се движи от 0 до някаква позиция x, p. r ₁₂  = pr ₁₂  = px.

Сега имаме и константата на Планк там, в нейната редуцирана форма ħ = h/2π. Както можете да си представите, това 2π има нещо общо с факта, че имаме нужда от радиани в аргумента. Това е същото като това, което направихме с x в аргумента на онази косинусова функция по-горе: ако трябва да изразим нещо в радиани, тогава трябва да абсорбираме коефициент 2π в тази константа. Тук обаче трябва да направя едно допълнително отклонение. Константата на Планк очевидно не е просто константа: тя е така нареченият квант на действие . Наистина, той се появява в това, което може би е най-  фундаменталното  отношение във физиката.

Първото от тези фундаментални отношения е така нареченото отношение на Планк: E = h f.  Съотношението на Планк изразява двойствеността вълна-частица на светлината (или електромагнитните вълни като цяло): светлината идва в дискретни кванти  на енергия (фотони) и енергията на тези „вълнови частици“ е право пропорционална на честотата на вълната и факторът на пропорционалност е константата на Планк.

Второто фундаментално отношение или отношения – в множествено число – трябва да кажа, са отношенията на де Бройл  . Наистина, Луи-Виктор-Пиер-Реймонд, 7-ми херцог дьо Бройл, обърна горното с главата надолу: ако фундаменталната природа на светлината е (също) подобна на частици, тогава фундаменталната природа на частиците трябва (също) да бъде подобна на вълна . Така че той смело свърза честота f и дължина на вълната λ с всички частици, като електрони например – но обекти с по-голям мащаб, като билярдни топки или планети, също имат  дължина на вълната и честота на де Бройл  ! Отношението на де Бройл  , определящо  честотата на де Бройл, е – съвсем просто – пренареденото отношение на Планк: f = E/h. Така че тази връзка свързва  честотата на де Бройл  с енергията . Обаче в горната вълнова функция имаме импулс, а не енергия. Е... Енергията и импулсът очевидно са свързани и така имаме второ съотношение на де Бройл,  свързващо импулса с дължината на вълната: λ = h/p.

Почти стигнахме: просто се дръжте. Когато представихме уравнението на синусоидалната вълна, въведохме  ъгловата  честота (ω) и  вълновото число (k), вместо да работим с f и λ. Това е така, защото искаме аргумент, изразен в радиани . Тук е същото. Двете  уравнения на де Бройл имат еквивалент, използващ ъглова честота и вълново число: ω = E/ħ и k = p/ħ. Така че просто ще използваме второто (т.е. връзката с импулса в него), за да свържем вълново число с частицата (k = p/ħ).

уф! И така, най-накрая , получаваме формулата, която въведохме преди малко: Ψ(x) = (1/x) e ^i kx или, включително времето като променлива (досега направихме абстракция на времето):

Ψ(x, t) = (1/x) e ^{i (kx – ωt)}

Горната формула очевидно има смисъл. Например, факторът 1/x прави амплитудата на вероятността да намалява, докато се отдалечаваме от мястото, където е започнала частицата: всъщност тази вариация 1/x или 1/r е това, което виждаме и при електромагнитните вълни: амплитудата на векторът на електрическото поле E варира като 1/r и тъй като тук говорим за реална  вълна и следователно нейната енергия е пропорционална на  квадрата на полето, енергията, която източникът може да достави, варира обратно пропорционално на квадрата на разстоянието . [Друг начин да кажем същото е, че енергията, която можем да извлечем от вълна в рамките на даден коничен ъгъл, е една и съща, без значение колко далеч сме: енергийният поток никога не се губи – той просто се разпространява върху все по-големи и по-големи ефективна площ. Но да се върнем към основната история.]

Разбрахме математиката – надявам се. Но какво всъщност означава  това уравнение  ? Каква е тази   дължина на вълната или честота на де Бройл в действителност? За каква вълна говорим? Е… Какво е реалността? Както бе споменато по-горе, известните съотношения на де Бройл свързват дължина на вълната λ и честота f с частица с импулс p и енергия E, но е важно да се спомене, че свързаната вълнова функция на де Бройл  дава  вероятностни амплитуди.Така че това наистина не е „истинска вълна в космоса“, както би се изразил Файнман. Това е квантово-механично вълново уравнение.

а? […] Очевидно е време да добавя някои илюстрации тук и това е, което ще направя. Вижте двата случая по-долу. Случаят отгоре е доста близък до ситуацията, която описах по-горе: това е вълна на де Бройл – така че това е сложна вълна – пътуваща през пространството (само в едно измерение тук). Реалната част от комплексната амплитуда е в синьо, а зеленото е имагинерната част. Така че вероятността да намерим тази частица в някаква позиция x е модулът на квадрат на тази комплексна амплитуда. Сега тази конкретна вълнова функция пренебрегва вариацията 1/x и следователно квадратният модул на A e ^{i (kx – ωt)}  е равен на  константа. За да бъдем точни, то е равно на A ²  (проверете го: повдигнатият на квадрат модул на комплексно число z е равен на произведението на z и неговия комплексен спрегнат, и така получаваме A ²  като резултат наистина). И така, какво означава това? Това означава, че вероятността да се намери тази частица (например електрон) е една и съща във всички точки! С други думи, ние не знаем къде е! На илюстрацията по-долу (горната част) това е показано като (жълта) непрозрачност на цвета: вероятността е разпръсната, точно като самата вълна, така че наистина няма определена позиция на частицата.

[Обърнете внимание, че формулата в илюстрацията по-горе (която отново взех от Wikipedia) използва p вместо k като фактор пред x. Въпреки че не прави голяма разлика от математическа гледна точка (ħ е просто фактор на пропорционалност: k = p/ħ), има голяма разлика от  концептуална  гледна точка и следователно съм озадачен, тъй като защо авторът на тази статия е направил това. Също така, има известна вариация в непрозрачността на жълтото (т.е. цвета на нашата топка за тенис (или пинг-понг), представляваща нашата „вълна“), която не трябва да е там, защото вероятността, свързана с тази конкретна вълнова функция, е наистина константа : така че няма промяна във вероятността (при повдигане на квадрат на абсолютната стойност на комплексно число, фазовият фактор не влиза в действие). Също така имайте предвид, че тъй като всички вероятности трябва да се добавят до 100% (или до 1), вълнова функция като тази е доста проблематична. Въпреки това, не се тревожете за това сега: просто се опитайте да се оставите на течението.]

Досега предполагам, че вече няколко пъти поклатихте глава невярващо. Със сигурност тази частица (нека се придържаме към примера с електрона) трябва да е някъде, нали? разбира се

Проблемът е, че ние дадохме точна  стойност на неговия импулс и неговата енергия и в резултат на това чрез съотношенията на де Бройл ние също свързахме точна  честота и дължина на вълната с  вълната на де Бройл,  свързана с този електрон. Следователно, принципът на несигурността на Хайзенберг влиза в действие: ако имаме точно познание за импулса, тогава не можем да знаем нищо за неговото местоположение и затова получаваме тази вълнова функция, покриваща цялото пространство, вместо само някои области. нещо като. Тук, разбира се, говорим за онази дълбока мистерия, за която не мога да кажа много – дори само защото толкова много видни физици вече са изчерпали темата. Просто ще заявя Файнман още веднъж: „Нещата в много малък мащаб се държат като нищо, с което имате пряк опит. […] С него се свиква много трудно и изглежда особен и загадъчен за всеки – и за начинаещия, и за опитния учен. Дори експертите не го разбират така, както им се иска, и е напълно разумно да не го разбират, защото целият пряк човешки опит и човешката интуиция се отнасят за големи обекти. Знаем как ще действат големите обекти, но нещата в малък мащаб просто не действат по този начин. Така че трябва да научим за тях по някакъв абстрактен или въображаем начин, а не чрез връзка с нашия пряк опит. И след като описва експеримента с двоен прорез, той подчертава ключовото заключение: „В квантовата механика е невъзможно да се предскаже точно какво ще се случи. Можем само да предвидим шансовете [т.е. вероятностите]. Физиката се отказа от проблема да се опитва да предвиди какво точно ще се случи. да Физиката се  отказа.  Не знаем как да предвидим какво ще се случи при дадени обстоятелства.Невъзможно е: единственото нещо, което може да се предвиди, е вероятността отразлични събития. Трябва да се признае, че това е ограничение в нашия идеал за разбиране на природата. Може да е крачка назад, но никой не е видял начин да го избегне.“

[…] Предполагам, че това е достатъчно, но позволете ми – като начин да завърша това малко отклонение – просто бързо да изложа принципа на несигурността в повече или по-малко точна версия тук, вместо всички „описания“, които може да имате гледано от него: Принципът на несигурността се отнася до всяко едно от множеството математически неравенства, установяващи фундаментална граница (фундаментална означава, че няма нищо общо с ефектите на наблюдател или измерване, или с ограниченията на нашите експериментални технологии) на точността, с която определени двойки на физичните свойства на частица (тези двойки са известни като допълващи се променливи), като например позиция (x) и импулс (p), могат да бъдат известни едновременно. По-конкретно, за позиция и импулс имаме, че σ _x σ _p  ≥ ħ/2 (и в тази формулировка σ очевидно е стандартният символ за стандартното отклонение на нашата точкова оценка съответно за x и p).

добре Обратно към илюстрацията по-горе. Частица, която трябва да бъде намерена в определен регион  – а не просто „някъде“ в пространството – ще има амплитуда на вероятността, наподобяваща вълновото уравнение в долната половина: това е вълнов влак или вълнов пакет и ние можем да го разложим , използвайки анализа на Фурие, в редица синусоидални вълни, но така че нямаме уникална дължина на вълната за вълновата поредица като цяло и това означава – според уравненията на де Бройл – че има известна несигурност относно нейния импулс (или неговата енергия).

Ще оставя това да потъне засега. В следващата си публикация ще напиша малко повече за тези вълнови уравнения. Те обикновено са решение на някакво диференциално уравнение – и това е мястото, където следващият ми пост ще се свърже с предишните ми (за диференциални уравнения). Само за сбогом – засега това е – просто ще копирам още една красива илюстрация от Уикипедия. Вижте по-долу: представлява (вероятното) пространство, в което ще бъде намерен един електрон на 5d атомната орбитала на водороден атом. Твърдото тяло показва местата, където плътността на вероятността на електрона (това е квадратът на модула на амплитудата на вероятността ) е над определена стойност – така че това е основно областта, където вероятността за намиране на електрона е по-висока, отколкото другаде. Цветът на цветната повърхност показва сложната фаза на вълновата функция.

Това е прекрасен образ, нали? Най-малкото донякъде увеличи разбирането ми за мистериозната квантова механика. Надявам се и на вас да ви помогне.

Post scriptum 1: За необходимостта от нормализиране на вълнова функция

В тази публикация написах нещо за необходимостта вероятностите да се добавят до 1. От математически термини това условие ще прилича на нещо като

В този интеграл имаме – отново – квадратния модул на вълновата функция, така че това е вероятността да намерим частицата някъде . Интегралът просто заявява, че всички вероятности, добавени в цялото пространство (R ⁿ ), трябва да дадат някакво крайно число ( a ² ). хей  Но това не е равно на 1, ще кажете. Ами… Това е само малък проблем: можем да създадем нормализирана вълнова функция ψ  от ψ _0, като просто разделим ψ на a , така че имаме ψ  =  ψ ₀ / a и тогава всичко наистина е „нормално“.

Post scriptum 2: За използването на цветове за представяне на комплексни числа

Когато вмъкнах тази красива 3D графика на тази 5d атомна орбитала (отново потвърждавайки нейния източник: Wikipedia), написах, че „нюансът на цветната повърхност показва сложната фаза на вълновата функция“. Тъй като този вид визуално представяне на комплексни числа ще се появи и в други публикации (и със сигурност вече сте го срещали няколко пъти), вероятно е полезно да бъдете изрични какво  точнопредставлява . Ами… просто ще копирам обяснението в Уикипедия, което е достатъчно ясно: „Дадено е комплексно число z = r e ^i θ , фазата (известна също като аргумент) θ може да бъде представена чрез нюанс, а модулът r =| z| се представя или чрез интензитет, или чрез вариации в интензитета. Подреждането на нюансите е произволно, но често следва цветовото колело. Понякога фазата е представена от специфичен градиент, а не от оттенък. И така, ето ви...

Post scriptum 3: За  отношенията на де Бройл

Роднините на де Бройл  са прекрасна двойка. Те очевидно са еквивалентни: енергията и импулсът са свързани, а дължината на вълната и честотата очевидно също са свързани чрез общата формула, свързваща честотата, дължината на вълната и скоростта на вълната: f λ = v(произведението на честотата и дължината на вълната трябва да дава скоростта на вълната наистина). Въпреки това, когато става дума за връзката между енергия и импулс, има малка уловка. За каква енергия говорим? Описвахме свободна частица (напр. електрон), пътуваща през пространството, но без (други) заряди, действащи върху нея – с други думи: без потенциал  , действащ върху нея), и така може да се изкушим да заключим, че говорим за кинетичната енергия (KE) тук. И така, при относително ниски скорости ( v ), можем да се изкушим да използваме уравненията p = m v и KE = p ²/2m = m v ² /2 (единственият електрон във водородния атом се движи с по-малко от 1% от скоростта на светлината, така че това наистина е нерелативистична скорост) и се опитайте да преминете от едно уравнение към друго с тези прости формули. Е… Да опитаме.

f = E/h според de Broglie  и следователно, замествайки E с p ² /2m и f  с v /λ, получаваме v/λ = m ² v ² /2mh. След известно опростяване и пренареждане би трябвало да се получи втората  връзка на де Бройл: λ = 2h/m v= 2h/p. И така, ето ни. Ами… Не. Второто отношение на де Бройл е просто λ = h/p: в него няма фактор 2. И така, какво не е наред? Проблемът е енергийното уравнение: де Бройл не  използва формулата на КЕ. [Между другото, трябва да отбележите, че уравнението KE = m v ² /2 е само приближение за ниски скорости – ниски в сравнение с c , което е.] Той взема известното уравнение на Айнщайн E = m c ² (което се изкушавам да обяснявам сега, но няма да) и просто замества  c, скоростта на светлината, с v , скоростта на бавно движещата се частица. Това е много фин, но и много дълбок момент, който, честно казано, все още не разбирам напълно. Наистина E = m c ²  на Айнщайн очевидно е нещо много „по-дълбоко“ от формулата за кинетична енергия. Последното е свързано със сили, действащи върху маси и следователно се подчинява на законите на Нютон – така че това е доста познато нещо. Що се отнася до формулата на Айнщайн, добре… Това е резултат от теорията на относителността и като такова нещо, което е много по-трудно за обяснение. Докато разликата между двете енергийни формули е само коефициент 1/2 (което обикновено не е голям проблем, когато просто си играете с формули като тази), това прави голяма концептуална  разлика.

Хм… Може би трябва да дадем няколко примера. Така че тези уравнения  на де Бройл  свързват вълна с честота  f  и дължина на вълната λ с  частици  с енергия E, импулс p и маса m, пътуващи през пространството със скорост  v : E = h f  и p = h/λ. [И ако искаме да използваме някаква синусова или косинусова функция като  пример  за такава вълнова функция – което е вероятно – тогава се нуждаем от аргумент, изразен в радиани, а не в единици за време или разстояние. С други думи, ще трябва да преобразуваме честотата и дължината на вълната съответно в  ъглова  честота и вълново число, като използваме отношенията 2π = ωT = ω/ f  и 2π = kλ, с дължината на вълната (λ), периодът (T) и скоростта ( v ) на вълната, свързана чрез простите уравнения f = 1/T и λ =  v T. Така че тогава можем да запишем  отношенията на де Бройл  като: E = ħω и p = ħk, с ħ = h/2π.]

В тези уравнения константата на Планк (независимо дали е h или ħ) се явява като прост фактор на пропорционалност (ще се тревожим какво всъщност  е  h във физиката в по-късните публикации) – но много малка : приблизително 6,626×10 ^–34  J ·s (Джаул е стандартната SI единица за измерване на енергия или работа: 1 J = 1 kg·m ² /s ² ), или 4,136×10 ^–15  eV·s, когато се използва по-подходяща (т.е. по-голяма) мярка за енергия за атомната физика: все пак 10 ^–15  е само 0,000 000 000 000 001. И така, как работи? Първо забележете, още веднъж, че се предполага, че използваме еквивалента за бавно движещи се частици на известното уравнение E = m c ² на Айнщайн като мярка за енергията на частица: E = m v ². Знаем, че скоростта добавя маса към частица – като масата е мярка за инерция. Всъщност масата на така наречените безмасови частици, като фотоните, не е нищо друго освен тяхната енергия (разделена на  c ² ). С други думи, те нямат маса на покой, но имат релативистка маса m = E/ c ² , с E = h f  (и с  f честотата на светлинната вълна тук). Частиците, като електрони или протони, наистина имат маса на покой, но тогава те не се движат със скоростта на светлината. И така, как се получава това във формулата E = m v ²  , която – позволете ми да подчертая тази точка още веднъж – не е стандартната формула (за кинетична енергия), с която сме свикнали (т.е. E = m v ² /2) ? Да направим упражнението.

За фотони можем да пренапишем E = h f  като E = h c/λ. Числителят h c  в този израз е 4,136×10 ^–15  eV·s (т.е. стойността на константата на Планк h, изразена в eV·s), умножена по 2,998×10 ⁸  m/s (т.е. скоростта на светлината c ), така че това е (повече или по-малко) h c  ≈ 1,24×10 ^–6  eV·m. За видимата светлина знаменателят ще варира от 0,38 до 0,75  микрометра (1 μm = 10 ^–6  m), т.е. 380 до 750 нанометра (1 nm = 10 ^–6  m), и следователно енергията на фотона ще бъде в диапазона от 3,263 eV до 1,653 eV. Така че това са само няколко електронволта (електронволт (eV) по дефиниция е количеството енергия, получено (или загубено) от един електрон, докато се движи през електрическа потенциална разлика от един волт). Така че това е 2,6 до 5,2 джаула (1 eV = 1,6×10 ^–19  джаула) и следователно еквивалентната  релативистка  маса на тези фотони е E/ c ²  или 2,9 до 5,8×10 ^–34  kg. Това е малко – но не без значение. Наистина, нека сега разгледаме един електрон.

Масата на покой на електрона е около 9,1 × 10 ⁻³¹  kg (така че това е мащабен фактор от хиляда в сравнение със стойностите, които намерихме за релативистичната маса на фотоните). Също така, във водороден атом се очаква да се движи около ядрото със скорост от около 2,2 × 10 ⁶  m/s. Това е по-малко от 1% от скоростта на светлината, но все още е доста бързо очевидно: при тази скорост (2200 км  в секунда ) тя може да обиколи земята за по-малко от 20 секунди (един фотон се справя по-добре: той пътува не по-малко от 7,5 пъти около земята за една  секунда). Във всеки случай, енергията на електрона – според формулата, която трябва да се използва като вход за изчисляване на  честотата на де Бройл  – е 9,1 × 10 ⁻³¹  kg, умножена по квадрат от 2,2 × 10 ⁶  m/s, и това е около 44 × 10 ^–19  джаула или около 70 eV (1 eV = 1,6×10 ^–19  джаула). Така че това е – приблизително – 35 пъти  повече  от енергията, свързана с един фотон.

Честотата, която трябва да свържем с 70 eV, може да се изчисли от E = h v /λ (трябва още веднъж да използваме  v вместо  c ), но можем също да опростим и изчислим директно от масата: λ = h v /E = h v/ m v ² = h/m v  (уверете се обаче, че изразявате h в J·s в този случай): получаваме стойност за λ, равна на 0,33  нанометъра, така че това е повече от  хиляда  пъти  по-кратко  от гореспоменатите дължини на вълните за видимата светлина. И така, отново имаме мащабен фактор от около хиляда тук. Това е разумно, нали? [Има подобен мащабен фактор при преминаване към следващото ниво: масата на протоните и неутроните е около 2000 пъти по-голяма от масата на един електрон.] Наистина, имайте предвид, че ще получим стойност от 0,510 MeV , ако приложим E = m c ² , уравнение на гореспоменатата маса (в покой) на електрона (в kg): MeV означава  мега- електронволт, така че 0,510 MeV е 510 000 eV. Така че това е  няколкостотин хиляди пъти  енергията на фотон и следователно е очевидно, че не използваме енергийния еквивалент на масата на покой на електрона, когато използваме уравненията на де Бройл. Не. Това е проста, но доста мистериозна формула E = m v ²  . Така че не е mc2, нито ^mv2  / 2 ⁽ кинетична енергия). Храна за размисъл, нали? Нека да разгледаме формулите още веднъж.

Те могат лесно да бъдат свързани: можем да пренапишем честотната формула като λ = h v /E = h v/m v ²  = h/m v  и след това, използвайки общата дефиниция на импулса (p = m v), ние получете второто уравнение на де Бройл  : p = h/λ. Всъщност доста конкретното определение на де Бройл за енергията на частица (E = m v ²) прави  v  прост фактор на пропорционалност между енергията и импулса на частица:  v  = E/p или E = p v . [Можем да получим този резултат и по друг начин: имаме h = E/ f  = pλ и, следователно, E/p =  f λ =  v .]

Отново, това е сериозна храна за размисъл: досега не съм виждал никакво „лесно“ обяснение на тази връзка. За да оцените неговата особеност, просто го сравнете с обичайните отношения, свързващи енергията и импулса: E =p ² /2m или, в неговата релативистична форма, p ² c ²  = E ²  – m ₀ ² c ⁴ . Така че тези две уравнения  не трябва да се използват, когато се преминава от едно  отношение на де Бройл  към друго. [Разбира се, работи за безмасови фотони: използвайки релативистичната форма, получаваме p ² c ²  = E ² – 0 или E = p c, а  съотношението на де Бройл става  съотношението на Планк : E = h f  (с f честотата на фотона, т.е. светлинния лъч, от който е част). Имаме също p = h/λ = h f / c и, следователно, E/p = c идва естествено. Но това не е случаят с (по-бавно движещи се) частици  с  известна маса на покой: защо трябва да използваме m v ²  като енергийна мярка за тях, а не формулата за кинетична енергия?

Но нека просто приемем тази странност и да продължим напред. В края на краищата, може би  тук има  някаква грешка и затова, може би, трябва просто да приемем този фактор 2 и да заменим λ = h/p с λ = 2 h/p. защо не Във всеки случай, изразите λ = h/m v  и λ = 2h/p = 2h/m v създават впечатлението, че както масата на частицата, така и нейната скорост са еднакви, така да се каже, когато става въпрос за определяне на числената стойност на дължината на вълната на де Бройл  : ако удвоим скоростта или  масата, дължината на вълната се скъсява наполовина. Така че човек би си помислил, че по-големите маси могат да бъдат свързани с изключително къси  дължини на вълните на де Бройл  само ако се движат с доста значителна скорост. Но това е мястото, където изключително малката стойност на h променя аритметиката, която очакваме да видим. Наистина нещата работят по различен начин в квантовия мащаб и малката стойност на h е в основата на това. Наистина, често се нарича "най-малката константа" във физиката, така че тук е мястото, където вероятно трябва да кажем малко повече за това какво всъщност означава h.

Константата h на Планк описва малките отделни пакети, в които природата опакова енергия: не можете да намерите по-малки „кутии“. Като такъв, той се нарича "квант на действие". Но със сигурност веднага ще кажете, че неговият братовчед, ħ = h/2π, всъщност е по-малък. Ами… Да. Всъщност си прав: ħ = h/2π всъщност е по-малко. Това е така нареченият квант на ъгловия момент, също (и вероятно по-добре) известен като спин . Ъгловият импулс е мярка за… Е… Нека го наречем „количеството на въртене“, което има даден обект, като вземем предвид неговата маса, форма и скорост. Точно като p , това е вектор. За да бъдем точни, това е продукт на така наречената ротационна инерция на тялото  (така че е подобна на масата m в p = m v ) и неговата скорост на въртене (така че това е като v, но това е „ъглова“ скорост), така че можем напишете L = I ω  , но няма да навлизаме в повече подробности тук. Важното е да се отбележи, че ъгловият импулс, или въртенето, както е известно в квантовата механика, също идва в отделни пакети и тези пакети са кратни на ħ. [ОК. Тук опростявам, но идеята или принципът, който обяснявам тук, е напълно правилен.]

Но нека сега се върнем към  дължината на вълната на де Бройл  . Както бе споменато по-горе, човек би си помислил, че по-големите маси могат да бъдат свързани с изключително къси  дължини на вълните на Де Бройл  само ако се движат с доста значителна скорост . Е… Оказва се, че изключително малката стойност на h разстройва ежедневната ни аритметика. Наистина, поради изключително малката стойност на h в сравнение с обектите, с които сме свикнали (само в едно  зрънце сол ще намерим около 1,2×10 ¹⁸  атома – просто напишете 1 с 18 нули отзад и ще оцените тези огромни числа са малко повече), оказва се, че скоростта не е толкова важна – поне не в диапазона, с който сме свикнали. Например,  дължината на вълната на де Бройл  , свързана с бейзболна топка, тежаща 145 грама и движеща се с 90 mph (т.е. приблизително 40 m/s), ще бъде 1,1 × 10 ^–34  m. Това наистина е неизмеримо малко – буквално неизмеримо малко: не само технически, но и теоретично, защото в този мащаб (т.е. така наречената скала на Планк) понятията за размер и разстояние се разпадат в резултат на принципа на неопределеността. Но със сигурност ще си помислите, че можем да подобрим това, ако просто гледаме бейзболна топка, която се движи много по-бавно. Е… Не става много по-добре за бейзболна топка, която се движи със скоростта на охлюв – да кажем 1 см на час, т.е. 2,7×10 ^–6  m/s. Наистина получаваме дължина на вълната от 17 × 10 ^–28  m, което все още не е близо до нанометровия диапазон, който открихме за електроните.   Само за представа: разделителната способност на най-добрия електронен микроскоп е около 50 пико метра (1 pm = ×10 ^–12 m) и това е размерът на малък атом (размерът на атома варира между 30 и 300 pm ). Накратко, за всички практически цели, дължината на вълната на де Бройл на обектите, с които сме свикнали, няма значение – и тогава имам предвид, че няма никакво значение . Ето защо квантово-механичните явления са уместни само в атомен мащаб.”

Редактирано Август 27, 2024 от Станислав Янков

[Станислав Янков]

Любопитен въпрос! При движение на електрон във вакуум, той се сблъсква с разни постоянно появяващи се и изчезващи виртуални частици, свързани с квантово-механичните флуктуации на вакуума. Това е промяна на праволинейното, равномерно движение на онова, което електронът представлява, когато не участва във взаимодействия и даже би могло да се определи като негово взаимодействие с виртуалните частици (скоростта и/или посоката му или квантовото му състояние се променя). Не съм срещал този процес да е свързан с някакви електромагнитни лъчения, въпреки промените в скоростта и/или в посоката на електрона (и/или промените на квантовото му състояние). Има ли някакви утвърдени изводи в тази посока или се счита, че и в този случай липсват електромагнитни лъчения, както при обикалянията на електроните около атомните ядра (ако въобще има такива обикаляния), въпреки привидно очакваното електронно движение с ускорение в този случай и предполагането на електромагнитни лъчения, докато електронът не се “срине” върху ядрото?

[Станислав Янков]

Как се определя вероятността за нещо (каквото и да било - събитие, състояние, откриване на частица някъде в някой момент…) в квантовия свят? Определя се чрез квадрата на амплитудата на съответната вълна на вероятността.

Макар тук да не говорим за реални, материални вълни, а за вълни на неопределеността, въпреки това:

1) не говорим за пълноценна, обичайна неопределеност, а за ограничена до определена (вълнова) “форма” неопределеност, която може да се изразява по точно този начин заради специфични особености на материята, която лежи в основата на тези квантови ефекти;

2) в основата все пак говорим за вероятности, относими към някакъв вид материя и тази материя са съответните полета (електромагнитно, кварково, лептонно и т.н.).

Принципно можем да формираме всички особености на регистрируемата (физическата) реалност чрез само едно, фундаментално поле (от някои гледни точки то би могло да се определи и като мисловно или въображаемо поле), което представлява материята, от една универсална константа на движението (скоростта на светлината 1с) и от сложна макроскопична геометрия, която формира макроскопичните особености на света (ограничени в пространството форми, подсветлинни скорости, маси и т.н.).

На микрониво удачен подход е този със спиновите мрежи, чрез които се формират и макро-особеностите. Елементарните частици са доста подобни (НЕ идентични) на макроскопичните черни дупки и минимум масивните елементарни частици можем да ги определим като микроскопични черни дупки. Съгласно определени аналитични подходи и черните дупки, и елементарните частици имат в основата си безразмерна същност на идеална точка (сингулярността в центъра на черните дупки и точковото местоположение на елементарните частици), отвъд която свързваните с тях ефекти (гравитационни при черните дупки и електромагнитни при елементарните частици) се простират далече в пространството в сравнение с безразмерните идеални точки. Същевременно не се регистрира съществуването на микроскопични черни дупки съгласно макроскопичните правила на Общата теория на относителността, защото микроскопичните черни дупки, които са елементарните частици (поне масивните от тях), се подчиняват на квантовите закономерности.

Като базова, фундаментална закономерност в основата на Вселената лежи асиметрия между особеностите на материята (фундаменталното поле) по направленията на четирите координати, асоциирани с четири пространствени измерения х, у, z и w (които измерения са и степени на свобода, съчетани със закони за запазване и може и да не са само четири). Тази асиметрия служи за обособяване на различните полета и техните състояния и преди всичко - тя е причината за обособяването на Стрелата на времето и на ентропията на макрониво.

Във връзка със СПИН-овите мрежи и тяхната фундаментална роля относно макроскопичната реалност - това е “въртене” във връзка с четвъртото пространствено измерение w (не протича в рамките на трите измерения х, у и z) и така става възможно “въртенето” на СПИН-а по и обратно на часовниковата стрелка (“напред и назад във времето”), без това да пречи частиците и античастиците да си се движат само в едно направление по координатата t (Стрелата на времето). Така СПИН-а може да се свърже с четвърто пространствено измерение w, а макроскопичната Стрела на времето се формира от асиметрията по координатата на w спрямо координатите на х, у и z (по направлението, асоциирано с w, протяжността на Вселената е съкратена до околопланков размер в сравнение безкрайната и’ или околобезкрайна протяжност по направленията на координатите х, у и z). Свързано с w е и трептенето zitterbewegung, отговорно за наличието на маса в покой (допускат голяма грешка всички, които се мъчат да дефинират това движение единствено в рамките на координатите х, у и z).

Доста логичен изглежда подхода на Пенроуз, според който от една страна имаме постоянно “изригваща” чрез периодични Големи взривове Вселена, а от другата страна са физическите закономерности, съобразно които всичко това работи (тук анализът може да тръгне от тоталното, абсолютно НИЩО, тоталната неопределеност и хаос в основата). С намаляването на мащабите в посока към микросвета (доближаването на подсветлинните макроскопични скорости все повече до тази на светлината) пространствените и времеви конкретики все повече се губят, различните посоки, минало, настояще и бъдеще се сливат в една безразмерна и безвремева точка, в която целия безкраен набор от възможности се заплита в една едновременна всевъзможна каша. От тук идват безкрайния набор от подвълни, които формират амплитудата на вълната на неопределеността. Какво от всички безкрайни възможности на микрониво да се прояви като ограничена конкретика на макрониво се определя от квантовите процеси.

Това е “черновата” (първия ми опит) за интегриране на квантовата механика в хипотезата ми за сплеснатото хипер-многообразие на реалността.

Редактирано Септември 2, 2024 от Станислав Янков

[Станислав Янков]

В целия този въпрос около реалността и как тя да се разбере по-пълно с научни средства има един много сериозен проблем! На макрониво има два донякъде различни подхода - нютоновия със сили и полета и айнщайновия с пространство-време и кривини вместо силите и полетата. На този фон различните подходи в рамките на самата квантова механика, които са трудно съвместими помежду си или в някои случаи напълно несъвместими, са още повече на брой! Имаме класическата (старата) квантова механика на Шрьодингер (най-близка до класическата нютонова механика), различния подход на Файнман и още по-различния, релативистки подход на Дирак, плюс още куп други различни подходи, създадени за решаването на конкретни сложни квантово-механични моменти! Всичките тези подходи са изключително сложни и не особено интуитивни за разбиране (не по-малко неинтуитивни от СТО и ОТО). Учудващо ли е, предвид целия този куп разнообразни подходи в квантовата механика, кой от кой по-сложни математически и интуитивно, че толкова време не може да се намери добро, малко по-достъпно решение за съвместяването на квантовата механика и гравитацията и дори не може да се състави подход за решаването на този проблем в обозримо бъдеще?!

[Станислав Янков]

Преходът, който се очакваше от 50 години: Физици разкриват тайните на времето

Изследванията показват невероятната прецизност на ядрените преходи...

Преходът, който се очакваше от 50 години: Физици разкриват тайните на времето - kaldata.com

[Станислав Янков]

С увеличаването на мащабите от микро- към макрониво (от квантовия към макросвета) отстоянието по направлението на координатата, асоциирана с измерението w, се запазва едно и също (поради постоянното движение на материята по направлението на тази координата със или почти със скоростта на светлината), докато отстоянията на разглежданите процеси по направленията на координатите, асоциирани с х, у и z се увеличават все повече, до безкрайност или почти до безкрайност. Тази асиметрия (нарушена симетрия) в посока на увеличаване на мащабите към макронивото е базовата, основната асиметрия, която позволява най-различните комбинации между пространство и време, свързани със СТО, ОТО и най-вероятно и КМ.

[Станислав Янков]

Кой е подхода, който може да свърже моето предположение за Евклидова хиперизмерна пространствена геометрия на Вселената с Квантовата механика в единна и последователна форма? Когато се разглежда въпроса за връзката на времето с пространството на макрониво, неизбежно се говори за някакви неевклидови кривини и огъвания. При Общата теория на относителността моментът с кривините е почти безусловно признат, тензорните матрици на ОТО изследват именно въпросните кривини и как те се проявяват като физически регистрируеми феномени (в конкретния случай - като гравитация). За огъвания става дума и при Специалната теория на относителността, както при конформното представяне на детайлите около диаграмата на Минковски, така и при проективното представяне на същите детайли.

 

 

 

При евклидовата версия на СТО и ОТО, която дава същите верни резултати при изчисляването на различните параметри, подхода и диаграмата на Епщайн, огъването по отношение на връзката между времето и пространството също присъства по най-безусловен начин. Присъства както при диаграмите на Епщайн във връзка със СТО, така и при диаграмите му във връзка с ОТО.

 

Сега при Квантовата механика! При Квантовата механика е цяло стълпотворение от най-различни подходи, в доста случаи - които подходи се съчетават много трудно помежду си или въобще не могат да се съчетаят един с друг. И тук не става дума за съчетаването на Квантовата механика с Общата теория на относителността или със Специалната теория на относителността (също много сложен подход на съчетание, който достига до Квантовата теория на полето и до Квантовата електродинамика също изключително трудно). Става дума единствено за куп разнообразни подходи в рамките на самата Квантова механика, създадени с времето за разрешаването на разнообразни сложни квантово-механични моменти. Сред тези подходи има такива, които заменят линейните параметри с кръгови и орбитални такива и по-конкретно става дума за вълните.

 

 

Всичко говори за наличието на фундаментално "огъване", което се проявява в разнообразни форми буквално навсякъде - в СТО, в ОТО, в КМ, НАВСЯКЪДЕ! При ОТО то е сферично (псевдоевклидово), при СТО е хиперболично (отново псевдоевклидово), при КМ се споменават орбитални и кръгови вместо съвместно използваните в други случаи линейни подходи. Всичко това може да произхожда от най-фундаменталната асиметрия във Вселената (от гледната точка на човека), която може да се определи и като момента на "раждане" на тази Вселена, "Големия взрив" (какъвто реално може и да не е имало или пък може да има вечна последователност от безброй периодични такива) - асиметрията между движението на материята със светлинна или с околосветлинни скорости по направлението (координатата), асоциирано с четвърто пространствено измерение w и движението на същата материя с подсветлинни скорости (когато не говорим за светлина, гравитация или глуони) по направление, "затворено" в обема на останалите три пространствени измерения х, у и z.

Материята във Вселената се движи само с един-единствен, универсален темп - темпа на скоростта на светлината във вакуум 1с. Впечатлението за подсветлинни скорости е в резултат на сложна хиперизмерна (поне четири-измерна) пространствена геометрия на Вселената, при която се получават различни съотношения между пространствените отстояния (в едни случаи се изминава повече пространство, а в други случаи - по-малко) и това на макрониво изглежда като подсветлинни скорости, макар темпът на движение във Вселената да е универсален (единствено и само този на скоростта на светлината във вакуум, само в различните случаи се изминават различни пространствени отстояния с тази винаги една и съща скорост, което се тълкува като различни макроскопични скорости). Процесът Zitterbewegung (фундаментално трептене на материята, което представлява масата в покой на масивните частици), електричната и магнитната компонента на електромагнитните вълни, вълните на неопределеността, всичко, което се случва извън точковото местоположение при регистрация на прозволна елементарна частица - всичко това се случва пространствени области извън обема, ограничен от направленията (координатите) на трите пространствени измерения х, у и z. Всичко това се случва в пространствени области, формирани чрез направлението (координатата) на четвъртото пространствено измерение w. Ние, човешките същества (а и не само ние), нямаме достатъчна разделителна способност на нашите сетива и на начина на функциониране на нашите мозъци, за да успяваме да откроим ясно подобни свръх-бързи процеси (примерно - процеса Zitterbewegung). Единствения достъпен за нас начин, по който тези над-тримерни пространствено процеси ни се изявяват е като светлина, като маса и като времеви ефекти (по направлението, асоциирано с четвъртото пространствено измерение w, материята изминава със скоростта на светлината отстоянието на цялата Вселена за един планков отрязък време /и това се равнява на една планкова дължина отстояние/, с което кръга в това направление се затваря и започва следващия Вселенски цикъл - нещо, което въобще не е така по направленията с безкрайно или почти безкрайно отстояние, асоциирани с измеренията х, у и z).

[Gravity]

Преди 15 часа, Станислав Янков said:

При евклидовата версия на СТО и ОТО, която дава същите верни резултати при изчисляването на различните параметри, подхода и диаграмата на Епщайн, огъването по отношение на връзката между времето и пространството също присъства по най-безусловен начин. Присъства както при диаграмите на Епщайн във връзка със СТО, така и при диаграмите му във връзка с ОТО.

Защо мислиш, че това го има и при ОТО?

[Станислав Янков]

Преди 43 минути, Gravity said:

Защо мислиш, че това го има и при ОТО?

При ОТО кривините на пространство-времето се заявяват съвсем открито. Да, стандартно те се водят условни, защото времето се счита за условно измерение (и аз вече също смятам, че времето t е условно измерение, макар да произтича от фундаменталната асиметрия между отстоянията по направлението на четвъртата пространствена координата w и отстоянието по направленията на останалите три пространствени координати х, у и z). Но когато разглеждаме нещата като само една фундаментална скорост (темп на движение) 1с и условни макроскопични скорости v=0с-1с (условни, защото при такъв подход са продукт на геометрията), тогава кривините на ОТО могат да се считат за съвсем реални кривини на четири (или повече) реални пространствени измерения. Така тази кривина я има и при ОТО, и при СТО (условна или реална - зависи кой от двата различни подхода е избран), но в единия случай тя е сферична (или може би елиптична е по-точното) псевдоевклидова, а в другия случай е хиперболична псевдоевклидова. Че при хиперболичността също има огъване (кривина), но в противоположна на сферичната “посока” ясно показва конформанта форма на хиперболичността, демонстрирана чрез диска на Поанкаре. И при проективното представяне би могла да се извлече кривината (чрез преобразуването му от проективна в конформна форма), но там е по-скрита.

Редактирано Септември 13, 2024 от Станислав Янков

[Gravity]

Не, питам за това което си написал. Ти каза за евклидовата версия но СТО и ОТО. Питам какво е това за ОТО?

[Станислав Янков]

Преди 2 часа, Gravity said:

Не, питам за това което си написал. Ти каза за евклидовата версия но СТО и ОТО. Питам какво е това за ОТО?

Алтернативен подход на Епщайн във връзка с ОТО, подобно на алтернативните му диаграми във връзка със СТО. Ето една от тях:

Има доста повече, но в една книжка на някакъв германец, от която съм взел изображението - бях споделил тук, в тази тема, интернет-адреса преди доста време. Ще го сложа пак след малко, когато мога да пиша от компютъра, а не от телефона. Точно както алтернативния подход на Епщайн във връзка със СТО дава същите верни резултати, които дават и Лоренцовите трансформации, точно така и алтернативния му подход във връзка с ОТО дава верните резултати относно някои от параметрите, намирани чрез ОТО (изглежда не е доразработено до предоставянето на всичко, което дава ОТО).

Редактирано Септември 13, 2024 от Станислав Янков

[Станислав Янков]

Алтернативния подход на Епщайн относно ОТО започва от тук:

Gravitation and the Curvature of Space-Time / Relativity

[Gravity]

Преди 8 часа, Станислав Янков said:

Алтернативния подход на Епщайн относно ОТО започва от тук:

Gravitation and the Curvature of Space-Time / Relativity

Това е само опит за популярно изложение. И в него няма ОТО а само един частен пример.

[Станислав Янков]

Преди 5 часа, Gravity said:

Това е само опит за популярно изложение. И в него няма ОТО а само един частен пример.

Да, не е пълна разработка, макар вероятно да би могло да се разшири и с намирането на други параметри, получавани чрез ОТО. Важното е, че верните резултати на забавянето на часовниците, получавани чрез ОТО, се получават и по този различен начин. Защото при другия, чиито моменти ползвам, Жан Луи Ван Бел, нещата не му се получават и той си признава това (той отрича кварките и се опитва да представи неутрона и деутерия като сбор от протони и така наречени "дълбоки електрони", но сметките не излизат). Смисълът на това позоваване е единствено да покажа, че не съществува работеща форма на съчетаване на пространството с времето - СТО, ОТО, интерпретациите на Епщайн, - която да не включва някаква кривина или форма на огъване при визуално представяне, даже и по отношение на диаграмите. Дискът на Поанкаре например, който се ползва при обясняването на диаграмата на Минковски, е съвсем легитимно конформно представяне на хиперболичната неевклидова геометрия и е пълен с огъвания/кривини, освен че самият той е кръгъл.

Също и при квантовата механика част от подходите ползват логика от орбитално естество (огъване/кривина):

Quaternions and the nuclear wave equation – Reading Feynman

[Gravity]

Преди 9 часа, Станислав Янков said:

Да, не е пълна разработка, макар вероятно да би могло да се разшири и с намирането на други параметри, получавани чрез ОТО.

На мен ми се струва напълно невероятно.

Преди 9 часа, Станислав Янков said:

Важното е, че верните резултати на забавянето на часовниците, получавани чрез ОТО, се получават и по този различен начин.

Как се получават по този начин! Те се взимат и слагат наготово.