"Парадокси" в теорията на относителността

[Джереми]

Две релативистични пръчки "А" и "В", със часовници, по отношение на всяка една, търпи скъсяване на дължина и забавяне на времето, с еднаква пропорционалност. Според часовника "А" времето му се забавя спрямо този на "В" с петнайсет минути, аналогична е и обратната ситуация. Значи и от която и от двете системи да гледаме все гледаме в движение, ако бяха покоящи се, нямаше да има лоренцов фактор. Пространствовремето е относително само когато го разглеждаме в движение, което се определя от отправните системи. Ако го разглеждаме от покоящи се системи , такива които са в покой една спрямо друга , тогава времето и пространството не са относителни.

[scaner]

Преди 9 минути, Kоко said:

Не би ли трябвало да има разлика във формата на подвижно въртящо се и подвижно невъртящо се колело? 

Има. И тя е по-сериозна, не става дума само за хоризонтално скъсяване, а и за преразпределение на точките. Ето как изглежда скъсено въртящо се колело:

 

Редактирано Септември 4, 2023 от scaner

[Kоко]

Преди 12 минути, scaner said:

Има. И тя е по-сериозна, не става дума само за хоризонтално скъсяване, а и за преразпределение на точките. Ето как изглежда скъсено въртящо се колело:

 

Аз питам за контурите на колелото, окръжността. Всяка една точка от подвижна въртяща се окръжност има различна скорост в сравнение с подвижна не въртяща се такава... спрямо една и съща ОС, разбира се. Няма логика, контура да се запази еднакъв

[scaner]

Преди 8 минути, Kоко said:

Аз питам за контурите на колелото, окръжността. Всяка една точка от подвижна въртяща се окръжност има различна скорост в сравнение с подвижна не въртяща се такава... спрямо една и съща ОС, разбира се. Няма логика, контура да се запази еднакъв

Картинката по-горе не я ли видя? На общата форма на контура - елипса - влияние оказва само движението на двете ИС. На разпределението на точките по него - въртенето.

Айде посериозно.

[Кухулин]

Преди 2 часа, scaner said:

В тая ситуация имаме следните два случая (самото колело в покой има обиколка S1):

1) в системата, в която колата с колелото се движи. Там пътят е S, обиколката на колелото нанесена върху пътя (не на самото движещо се колело!) S1 (поради неподвижността на точките, както споменаваш), броят обороти К=S/S1 ;

2) в системата на самата кола. Там пътят който трябва да се измине е S/gamma (лоренцовото съкращение). Но колелото като се върти с такава скорост, му се скъсява периферията (което води до скъсяване на радиуса, свързано с "парадокса" на Еренфест), и обиколката му става S1/gamma. Броят обороти е К=(S/gamma)/(S1/gamma) =S/S1.

Броят обороти в двете системи е еднакъв.

Окей, двамата наблюдатели виждат еднакъв брой обороти при изминаването на целия път. В нашия случай 3 м обиколка на колелото и 300 хил км шосе = 100 млн оборота общо за пътешествието.

В такъв случай идва следващият въпрос: каква ще кривата на ъгловата скорост (обороти в секунда) в зависимост от  линейната скорост (метри в секунда) през очите на всеки от наблюдателите?

[Кухулин]

Преди 2 часа, scaner said:

2) в системата на самата кола. Там пътят който трябва да се измине е S/gamma (лоренцовото съкращение). Но колелото като се върти с такава скорост, му се скъсява периферията (което води до скъсяване на радиуса, свързано с "парадокса" на Еренфест), и обиколката му става S1/gamma. Броят обороти е К=(S/gamma)/(S1/gamma) =S/S1.

Тук, впрочем, не може ли да се приложи същата логика: пътят се скъсява с гама, но това всъщност е просто сгъстяване на материалните точки, които го образуват. Иначе броят им си остава същия, аналогично на колелото.

[scaner]

Преди 8 минути, Кухулин said:

В такъв случай идва следващият въпрос: каква ще кривата на ъгловата скорост (обороти в секунда) в зависимост от  линейната скорост (метри в секунда) през очите на всеки от наблюдателите?

В зависимост от линейната скорост в коя точка по периферията на колелото? Защото връзката ъглова скорост/линейна скорост е функция и на ъгъла в системата в която колата се движи - картинката с колелата по-горе (макар че и тази картинка не е съвсем в мащаб, но нейсе). В системата на колата е по-просто.

Преди 6 минути, Кухулин said:

Тук, впрочем, не може ли да се приложи същата логика: пътят се скъсява с гама, но това всъщност е просто сгъстяване на материалните точки, които го образуват. Иначе броят им си остава същия, аналогично на колелото.

Да, променя се плътността в новата система.

[Кухулин]

Преди 18 минути, scaner said:

В зависимост от линейната скорост в коя точка по периферията на колелото? Защото връзката ъглова скорост/линейна скорост е функция и на ъгъла в системата в която колата се движи - картинката с колелата по-горе (макар че и тази картинка не е съвсем в мащаб, но нейсе). В системата на колата е по-просто.

Имам предвид линейната скорост на колата по шосето. Например при скорост 3 м/с колелото се върти с 1 об/с и пътуването трае 100 млн секунди - еднакво за двамата наблюдатели. А при увеличаване на скоростта и доближаването и до светлинната?

[gmladenov]

Преди 7 часа, Kоко said:

Първо, еднакъв брой обороти ли ще направи колелото, за цялото пътуване, в двете ОС? 

Хехе, измислил си страхотен парадокс.

Ако приемем всеки оборот за събитие, значи броят обороти задължително трябва да е еднакъв
и в двете системи. Иначе имаме загуба на събития ... което не е възможно, какво се знае.

Ето илюстрация на парадоска, леко поизменена за яснота.

Имаме автомобил, който се движи спрямо знак Стоп със скорост 0,5с. При тази скорост
Лоренцовият коефициент е (γ = 1,15).

В собствена си система автомобилът е в покой, докато знакът Стоп се движи със скорост 0,5с
наляво (в отрицателна посока). В системата на знака е обратното: той е в покой, а автомобилът
се движи насясно (в положителна посока) - пак със скорост 0,5с.

Всяко от колелата на автомобила е кръгло и има обиколка 1м в системата на автомобила.
При тази обиколка колелото прави общо 0,5с оборота за една секунда, като за това време
знакът Стоп се е преместил на разстояние 0,5с от автомобила.

Като приложим Лоренцовата трансформация, в примовата система автомобилът е изминал
0,575с разстоние за 1,15 секунди. Значи броят обороти остава същият: 0,575с/1,15 = 0,5с.

Къде е парадоксът?

В примовата система колелото е хоризонтално-скъсено (заради скъсяването на дължините) и
неговата обиколка също би трябвало да е по-къса отколкото в системата на автомобила.
Съгласно изминантото разстояние, обаче, обиколката на колелото трябва да е същата - иначе
как автомобилът ще измине разстояние 0,575с за 1,15 секунди.

Значи хем колелото е (хоризонтално-скъсено) скъсено, хем неговата обиколка си остава
същата. Хайде сега батко Скенер да ни обясни как стават тия неща.

Ето сметките по Лоренцовата трансформация.

x' = γ(x - vt)

t' = γ(t - xv/cc)
 

v = -0,5c, γ = 1,15, x = 0, t = 1

x' = γ(x - vt)    = 1,15(0 + 0,5c) = 0,575c
t' = γ(t - xv/cc) = 1,15(1 + 0)    = 1,15

 

Редактирано Септември 4, 2023 от gmladenov

[Джереми]

След като показах че пространствените дължини и времевите интервали се "скъсяват" при относително движещите се една спрямо друга отправни системи със скорост близка до тази на светлината, и то с един и същи коефициент, то във всяка инерциална система в която е дефинирано движение по отношение на друга, лоренцовият фактор се автоелиминира. Скъсяването е само по отношение на покоящи се отправни системи, и относително движещи се. Например сравняване на двойка от отправни системи, като например мост и земя, към например движеща се относително една спрямо друга системи на земя и автомобил който пътува. Май трудно ще ме разберат

[scaner]

Преди 6 минути, gmladenov said:

В примовата система колелото е хоризонтално-скъсено (заради скъсяването на дължините) и
неговата обиколка също би трябвало да е по-къса отколкото в системата на автомобила.
Съгласно изминантото разстояние, обаче, обиколката на колелото трябва да е същата - иначе
как автомобилът ще измине разстояние 0,575с за 1,15 секунди.

Значи хем колелото е (хоризонтално-скъсено) скъсено, хем неговата обиколка си остава
същата. Хайде сега батко Скенер да ни обясни как стават тия неща

По-горе съм сложил картинка на колелата. И там се вижда, че хем колелото е сплескано (не скъсено), хем разстоянието между спиците, които контактуват в долната част не е (за разлика от сгъстяването на спиците в горната част). И сметките са доста по-сложни от това което си направил Освен това не отчиташ "парадокса" на Еренфест в собствената система.

[gmladenov]

Преди 27 минути, scaner said:

По-горе съм сложил картинка на колелата. И там се вижда, че хем колелото е сплескано (не скъсено) ...

Е да де. Колелото е сплескано и става на елипса вместо окръжност. И след като "височината"
на колелото се запазва, значи елипсата в примовата система трябва да има по-малка обиколка
отколкото окръжността в стационарната система.

 

Преди 27 минути, scaner said:

Освен това не отчиташ "парадокса" на Еренфест в собствената система.

Парадоксът на Еренфест дефакто няма решение:
https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox#Resolution_of_the_paradox

Освен това в горния парадокс с автомобила ние не разглеждаме отправната система на самото
колело, а гледаме системата на автомобила ... в която има въртящо се колело. И единственото,
което ни интересува, е обиколката на колелото.

Според твоята анимация горе, обиколката на колелото безспорно е различна в двете системи.
Срещу това не можеш да спориш (или да трябва да признаеш, че горната анимация е грешна).
Но щом обиколката е различна ... а броят оборотите е еднакъв в двете системи ... тогава колелото
не може да измине пътя, който Лоренцовата система изчислява.

Така "парадоксът на автомобилното колело" в същност няма решение.

Редактирано Септември 4, 2023 от gmladenov

[Джереми]

Преди 13 минути, gmladenov said:

Освен това в горния парадокс с автомобила ние не разглеждаме отправната система на самото
колело, а гледаме системата на автомобила ... в която има въртящо се колело. И единственото,
което ни интересува, е обиколката на колелото.

Как ще изглежда едно въртящо се колело от неподвижна система, тоест като се приложат за колелото ЛТ как ще изглежда неговата геометрия.

[gmladenov]

Преди 1 минута, Джереми said:

Как ще изглежда едно въртящо се колело от неподвижна система, тоест като се приложат за колелото ЛТ как ще изглежда неговата геометрия.

В стационарната система (тази на автомобила) колелото е кръг.
А в примовата система то е елипса ... както Коко и Скенер показаха.

[Джереми]

Преди 1 час, gmladenov said:

Преди 1 час, Джереми said:

Как ще изглежда едно въртящо се колело от неподвижна система, тоест като се приложат за колелото ЛТ как ще изглежда неговата геометрия.

В стационарната система (тази на автомобила) колелото е кръг.
А в примовата система то е елипса ... както Коко и Скенер показаха.

Не аз имах друго в предвид, едно колело се върти с релативистична скорост, как ще изглежда като се приложат ЛТ за него.

[Кухулин]

Преди 8 минути, Джереми said:

Не аз имах друго в предвид, едно колело се върти с релативистична скорост, как ще изглежда като се приложат ЛТ за него.

За наблюдател, неподвижен спрямо центъра на колелото, обиколката ще се свива с увеличаване на скоростта.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox

[Джереми]

Преди 1 минута, Кухулин said:

За наблюдател, неподвижен спрямо центъра на колелото, обиколката ще се свива с увеличаване на скоростта.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox

За наблюдател на земята колелото има въртеливо и постъпателно движение, значи диаметърът му един път ще се съкрати от ротационото движение, втори път от постъпателното движение като стане на елипса.

[Кухулин]

Преди 5 минути, Джереми said:

За наблюдател на земята колелото има въртеливо и постъпателно движение, значи диаметърът му един път ще се съкрати от ротационото движение, втори път от постъпателното движение като стане на елипса.

Да, но последно се установихме на модела, в който размерът и формата на колелото нямат никакво значение. Причината е, че материалната точка в зоната на допира между колелото и пътя е неподвижна спрямо земния наблюдател. Веднъж се движи напред заедно с колата, втори път се движи назад заедно с периметъра на колелото. Сумарно не се движи.

[gmladenov]

Преди 27 минути, Джереми said:

Не аз имах друго в предвид, едно колело се върти с релативистична скорост, как ще изглежда като се приложат ЛТ за него.

Точно това е парадоксът не Еренфест и той дефакто няма решение:
https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox

Съответно не знам как ще изглежда колелото като се приложат ЛТ за него.

[Джереми]

Преди 40 минути, Кухулин said:

Да, но последно се установихме на модела, в който размерът и формата на колелото нямат никакво значение. Причината е, че материалната точка в зоната на допира между колелото и пътя е неподвижна спрямо земния наблюдател. Веднъж се движи напред заедно с колата, втори път се движи назад заедно с периметъра на колелото. Сумарно не се движи.

Нещо си се объркал, няма такава точка.

[Джереми]

Преди 39 минути, gmladenov said:

Точно това е парадоксът не Еренфест и той дефакто няма решение:
https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox

Съответно не знам как ще изглежда колелото като се приложат ЛТ за него.

Дължината на окръжноста му не се знае дали ще се съкрати от лоренцовият фактор, така ли.

[gmladenov]

Преди 6 минути, Джереми said:

Дължината на окръжноста му не се знае дали ще се съкрати от лоренцовият фактор, така ли.

Да, точно. Дължината на окръжността трябва да се скъси ... докато радиусът не се променя.

[Kоко]

Преди 3 часа, gmladenov said:

Хехе, измислил си страхотен парадокс.

Ако приемем всеки оборот за събитие, значи броят обороти задължително трябва да е еднакъв
и в двете системи. Иначе имаме загуба на събития ... което не е възможно, какво се знае.

Ето илюстрация на парадоска, леко поизменена за яснота.

Имаме автомобил, който се движи спрямо знак Стоп със скорост 0,5с. При тази скорост
Лоренцовият коефициент е (γ = 1,15).

В собствена си система автомобилът е в покой, докато знакът Стоп се движи със скорост 0,5с
наляво (в отрицателна посока). В системата на знака е обратното: той е в покой, а автомобилът
се движи насясно (в положителна посока) - пак със скорост 0,5с.

Всяко от колелата на автомобила е кръгло и има обиколка 1м в системата на автомобила.
При тази обиколка колелото прави общо 0,5с оборота за една секунда, като за това време
знакът Стоп се е преместил на разстояние 0,5с от автомобила.

Като приложим Лоренцовата трансформация, в примовата система автомобилът е изминал
0,575с разстоние за 1,15 секунди. Значи броят обороти остава същият: 0,575с/1,15 = 0,5с.

Къде е парадоксът?

В примовата система колелото е хоризонтално-скъсено (заради скъсяването на дължините) и
неговата обиколка също би трябвало да е по-къса отколкото в системата на автомобила.
Съгласно изминантото разстояние, обаче, обиколката на колелото трябва да е същата - иначе
как автомобилът ще измине разстояние 0,575с за 1,15 секунди.

Значи хем колелото е (хоризонтално-скъсено) скъсено, хем неговата обиколка си остава
същата. Хайде сега батко Скенер да ни обясни как стават тия неща.

Ето сметките по Лоренцовата трансформация.

x' = γ(x - vt)

t' = γ(t - xv/cc)
 

v = -0,5c, γ = 1,15, x = 0, t = 1

x' = γ(x - vt)    = 1,15(0 + 0,5c) = 0,575c
t' = γ(t - xv/cc) = 1,15(1 + 0)    = 1,15

 

Не всичко ми е ясно. В примера на Кухулин, колата тръгва и спира. Изминатото разстояние, изтеклото време и броят обороти на колелото са еднакви и за двете ОС

Тук, имаме различни разстояния и еднакви обороти. Защо? 

[gmladenov]

Just now, Kоко said:

Тук, имаме различни разстояния и еднакви обороти. Защо? 

Имаш различни разстояния, но и времената са различни. И като разделиш време на разстоние,
се получава същото:

• 0,5с/1сек = 0,575с/1,15сек = 0,5с метра

[gmladenov]

Преди 21 минути, Kоко said:

Не всичко ми е ясно.

В примера съм задал обиколка на колелото 1м. Значи с едно завъртане на колелото (с един оборот),
колата ще се продвижи с 1м. При 0,5с завъртания, колата ще се придвижи с 0,5с метра. Ако колелото
се върти с 0,5с оборота в секунда, то колата ще измине 0,5с метра за 1 секунда.

Като се приложи ЛТ излиза, че в примовата система колата е изминала 0,575с метра за 1,15 секунди.
Значи броят обороти в примовата система остава същия: 0,575с/1,15 = 0,5с оборота.

А от това пък следва, че обиколката на колелото трявба да е същата като в стационарната система.

Както също така казах, броят на оборотите не може да е различен, защото ако броим индивидуалните
обороти за индивидуални събития, то броят на събитията трябва да е еднакъв в двете системи.

Редактирано Септември 4, 2023 от gmladenov