Парадоксът на влакът и релсите

[Ниkи]

Преди 7 минути, scaner said:

Това което си дал са компонентите на скоростта в едната система. Векторната сума в другата система ще има друга посока, вече ми писна да повтарям и да насочвам към линкове дето това е обяснено подробно.

Защо не четеш, а и ти си търсиш оправдания?

Нали вече ти казах. Прав си. Край, така е. Но разликата няма да направи Пръта успореден на Стената. Нали единодушно решихме: Пръта е наклонен в ОС на Стената

Преди 10 минути, scaner said:

Точки от релсата, с които в даден момент не контактува влакът, се преобразуват в точки, в които влакът не контактува - и следователно никаква информация за успоредност не можеш да извлечеш. Трябва да преобразуваш само интересните точки, в които влакът контактува с релсата.

Е, стига де. То е ясно, че така ще направим. Това се подразбира.

Преди 12 минути, scaner said:

Естествено е да излиза друго за релсата, ако смяташ нещо от ОС на релсата - наклонът на пръта към стената ще е различен за различнните отправни системи.

Значи и ти забелязваш, че не се получават еднакви резултати.

Преди 13 минути, scaner said:

Но за ОС на релсата ти не правиш никакви оценки, затова не разбирам защо толкова упорито я споменаваш?

Нали търсим, как ще изглежда Релсата в ОС на Стената. Защо този път се получава успоредна на Стената. Че даже и Пръта се получава успореден на Стената?

Ако направим ЛТ по отделно, също резултата се различава от Теоремата. Защо? Тази теорема май нещо...?

[scaner]

Преди 10 минути, Ниkи said:

Нали вече ти казах. Прав си. Край, така е. Но разликата няма да направи Пръта успореден на Стената. Нали единодушно решихме: Пръта е наклонен в ОС на Стената

Ок.

Преди 10 минути, Ниkи said:

Значи и ти забелязваш, че не се получават еднакви резултати.

Ами в резултатът участва величината Vx - скоростта с която някаква отправна система се движи спрямо ОС на стената. За влакът тя е една, за релсата може да е друга, за ОС неподвижна със стената е нула. За друг влак движещ се по тази или друга релса, в същата или друга посока с ралична скорост, хептен различно. Съответно резултати различни. В това няма нищо неординарно.  Наклонът зависи от скоростта на дадена ОС спрямо стената, и от това какъв е наклонът спрямо стената в тази ОС.

За ОС на нашият влак наклонът е нула, затова лесно се оценява разликата с наклона в ОС н стената, това е удобството на началните условия. Но за дадена ОС имаме само един наклон, визирам началните ти криви чертежи

Преди 16 минути, Ниkи said:

Нали търсим, как ще изглежда Релсата в ОС на Стената. Защо този път се получава успоредна на Стената. Че даже и Пръта се получава успореден на Стената?

Успоредна на стената в плоскостта Х, по плоскостта Y вече установихме наклона, защото и влакът там е наклонен а той във всеки момент лежи на релсата. Ако толкова те тормози нещо, разгледай влак който е дълък колкото релсата - тогава наклона на влака ще е наклонът на релсата съвсем по определение.

 

Преди 18 минути, Ниkи said:

Ако направим ЛТ по отделно, също резултата се различава от Теоремата. Защо? Тази теорема май нещо...?

Теоремата не пипай. Тя е железна, и ако почетеш малко повече по нея, ще се увериш. Тя като теорема е за всички случаи, така че е удобно да се ползва като вече готов резултат. Ако получаваш различен резултат, значи в нещо бъркаш. По-горе ти дадох линк, ще го повторя:

"Теоремата, за която става дума, е обяснена и ТУК, след страшната матрица"

Аз и друг път съм си признавал, че имам проблеми с абстракциите, особено математическите. И за да ги разбера, всичките директни сметки свързани с подобни неща, ги правя на ръка върху примери, с общи числа. Така че съм умножавал N пълни матрици 4х4 и съм съобразявал компонентите на сумарните скорости, за да се уверя че кратко записаното доказателство е верно Спомням си, някога в казармата, когато в мислите ми беше тензора на Риман за кривината и уравненията на Айнщайн, в тетрадка съм записвал развитието и решението на тези уравнения като преобразувание на всички елементи от матрица 4х4х4х4 - 256 броя, по 16 уравнения. Една тетрадка 40 листа за развитие на решението на Шварцшилд. После втора такава тетрадка за проверка. И трета ако резултатите са различни Това преди да се появят програмите за символни изчисления... Можеш да ми вярваш. Така че това е добър начин и ти да се увериш, ако имаш желание.

[Ниkи]

Преди 49 минути, scaner said:

Ами в резултатът участва величината Vx - скоростта с която някаква отправна система се движи спрямо ОС на стената. За влакът тя е една, за релсата може да е друга, за ОС неподвижна със стената е нула. За друг влак движещ се по тази или друга релса, в същата или друга посока с ралична скорост, хептен различно. Съответно резултати различни. В това няма нищо неординарно.  Наклонът зависи от скоростта на дадена ОС спрямо стената, и от това какъв е наклонът спрямо стената в тази ОС.

Защо Vx? Релсата се движи спрямо Стената само по У. Пръта, в този случай, не го разглеждаме въобще. Той, както каза ти, вече е в ОС на Релсата, успореден на нея. Разглеждаме две точки от Релсата, които в момент Т са съвпаднали с две точки от Пръта. Това е. От тук, на там ни интересува само скоростта Р/С и координатите на тези две точки

Преди 53 минути, scaner said:

Успоредна на стената в плоскостта Х, по плоскостта Y вече установихме наклона, защото и влакът там е наклонен а той във всеки момент лежи на релсата. Ако толкова те тормози нещо, разгледай влак който е дълък колкото релсата - тогава наклона на влака ще е наклонът на релсата съвсем по определение.

Релсата е успоредна на Стената по Х, добре. Какъв наклон по У? Какъв наклон на влака? Тук разглеждаме нов случай, който няма нищо общо с резултатите от предишния. Влака тук въобще не ни интересува, както не ни интересуваше Релсата в предишния случай. Влака/Прът си е част от релсата в ОС на релсата, успореден на нея. Дай да спазваме същите правила, като в предишния случай. Нали проверяваме теоремата. Не започвай пак да криволичиш.

[scaner]

Преди 1 минута, Ниkи said:

Защо Vx? Релсата се движи спрямо Стената само по У. Пръта, в този случай, не го разглеждаме въобще. Той, както каза ти, вече е в ОС на Релсата, успореден на нея. Разглеждаме две точки от Релсата, които в момент Т са съвпаднали с две точки от Пръта. Това е. От тук, на там ни интересува само скоростта Р/С и координатите на тези две точки

Наклонът зависи и от Vx, и от  Vy. Имам пред вид, че за едно и също Vy, обекти в системи с различно Vx (но еднакво ориентирани с релсата) ще имат различен наклон спрямо стената.

Тъй като реклсата е обект в ОС на пръта, интересува ни нейното поведение само в тази система. Самата система на релсата в тази задача не ни вълнува, затова и нищо от нея не се ползва. Две точки от влака съответстват на две точки от релсата - и това е достатъчно да изследваме всички точки от релсата. Плюс проста геометрия - една отсечка от права запазва ориентацията си спрямо правата във всички отправни системи.

Ако много те интересуват произволни точки от релсата - моля, определи им координатите в системата на влака, и прави преобразиванията. Само внимавай какъв е смисъла на резултата и каква е връзката с влака изобщо Същото може да направиш и в ОС на релсата, ако много настояваш. Прави, защо само в пожелателно време пишеш? Това са съвсем други задачи - опитай да осъзнаеш по-простата, преди да усложняваш и отклоняваш условието... Иначе полза нулева.

Преди 6 минути, Ниkи said:

Какъв наклон по У? Какъв наклон на влака? Тук разглеждаме нов случай, който няма нищо общо с резултатите от предишния.

Е нали от предишния точно това получихме - по Y влакът е наклонен в системата на стената? А влакът като отсечка от правата на релсата, запазва ориентацията си спрямо релсата във всяка ОС. Защо се въртиш в кръг?

Виж сега, ина няколко науки в тая посока, аналитична и диференциална геометрия. Макар диференциалната геометрия да е тежък чук, тя е удобна за псевдоевклидовата геометрия на СТО за ред приложения. И там е тъпкано с леми и теореми, засягащи тези базови положения - така както евклидовата геометрия е пълна с тях, ако си спомняш училище. И сега да откриваме топлата вода, е безумие. Просто трябва да почетеш повече за геометрията, и за случая - конкретно за свойствата на групата на Лоренц, там има всичко. Мене не ме брой в тези усилия, аз вече съм  го дъвкал това.

[Ниkи]

Преди 38 минути, scaner said:

Наклонът зависи и от Vx, и от  Vy. Имам пред вид, че за едно и също Vy, обекти в системи с различно Vx (но еднакво ориентирани с релсата) ще имат различен наклон спрямо стената.

Е, добре де! 39 стр ли чака, за да кажеш това нещо? Най-накрая...  

В резюме: При Vy=const, за различно Vx се получава различен наклон в ОС на Стената. При Vx=0, както при Релсата, Обекта е успореден на Стената.

 

[Gravity]

Преди 2 часа, scaner said:

Аз и друг път съм си признавал, че имам проблеми с абстракциите, особено математическите. И за да ги разбера, всичките директни сметки свързани с подобни неща, ги правя на ръка върху примери, с общи числа. Така че съм умножавал N пълни матрици 4х4 и съм съобразявал компонентите на сумарните скорости, за да се уверя че кратко записаното доказателство е верно Спомням си, някога в казармата, когато в мислите ми беше тензора на Риман за кривината и уравненията на Айнщайн, в тетрадка съм записвал развитието и решението на тези уравнения като преобразувание на всички елементи от матрица 4х4х4х4 - 256 броя, по 16 уравнения. Една тетрадка 40 листа за развитие на решението на Шварцшилд. После втора такава тетрадка за проверка. И трета ако резултатите са различни Това преди да се появят програмите за символни изчисления... Можеш да ми вярваш. Така че това е добър начин и ти да се увериш, ако имаш желание.

Абстракциите си имат полза. Тези сметки по метода на Картан (moving frames) стават само на няколко страници.

[scaner]

Преди 7 минути, Ниkи said:

Е, добре де! 39 стр ли чака, за да кажеш това нещо? Най-накрая...  

В резюме: При Vy=const, за различно Vx се получава различен наклон в ОС на Стената. При Vx=0, както при Релсата, Обекта е успореден на Стената.

Да уточня: за различно Vx на отправната система се получава различен наклон в системата на стената. Смисълът е малко по-различен

Това не беше ли ясно още като се погледне страшната трансформираща матрица? Защо имплицитно трябва да се споменава?

[Ниkи]

Преди 6 минути, scaner said:

Да уточня: за различно Vx на отправната система се получава различен наклон в системата на стената. Смисълът е малко по-различен

Така де

Преди 6 минути, scaner said:

Това не беше ли ясно още като се погледне страшната трансформираща матрица? Защо имплицитно трябва да се споменава?

Ами, нали и аз това  акцентирам през цялото време. Това ми прави впечатление и се опитвам да го коментирам

[scaner]

Преди 8 минути, Gravity said:

Абстракциите си имат полза. Тези сметки по метода на Картан (moving frames) стават само на няколко страници.

Знам, но имам трудности с началното им възприемане, затова и ми трябва нещо материално да го пипам и разчепкам в максимални подробности... После с придобитият опит нещата си идват на мястото, изработва се заместващ механизъм за разбиране, но това е някакво ограничение да се занимавам с чиста математика ad hoc. Имам познат математик в БАН, и той има подобен проблем, макар че това му е професията. Говорил съм и с доктори, мнението им е че това е странно защото не се съчетава с други характеристики, но явно такъв е живота, едно нещо може да компенсира друго...

[scaner]

Just now, Ниkи said:

Ами, нали и аз това  акцентирам през цялото време. Това ми прави впечатление и се опитвам да го коментирам

Е какво има за коментиране - резултат. Не води до противоречия

[gmladenov]

Преди 4 часа, Ниkи said:

В крайна сметка сме единодушни (надявам се и Младенов да е разбрал), че пръта е наклонен в ОС на Стената.

Ники, продължаваме да ги виждаме различно нещата.

Защо не направиш една графика като моите, в които отляво показваш стационарната
система, а отдясно примовата система. Да видим какво ще излезе.

[gmladenov]

Преди 5 часа, scaner said:

Зарежи класическата кинематика. Тук нагазваш в релативистската такава, картинката е съвсем различна.

Скенер, във всяка кинематика инерциалното движение е линейно ... а оттам и едно-размерно.
Тоест, движение в едно измерение.

[scaner]

Преди 21 минути, gmladenov said:

Скенер, във всяка кинематика инерциалното движение е линейно ... а оттам и едно-размерно.

Това не изключва ефектът на накланянето, за който говоря.  Просто трябва по-внимателно да разглеждаш нещата в СТО. И погледни линковете, там накратко са разказани по-важните резултати. Естествено, за повече подробности от Уикипедията не може да се очаква, и на това благодарим, те трябва да се търсят по дадените там връзки и по учебниците дето всичко си е описано. Но не може само по аналогия с класическата кинематика да си правиш толкова далечни заключения. Факт.

Движението и в СТО е едноразмерно, но привеждането до такова става с различни завъртания в различните отправни системи, и тук е тънкостта. Този ефект го няма в класическата кинематика, и за това е антиинтуитивен, но пък много важен в случая.

Има и чертежи в линковете дето съм дал, как точно се извиват отправнитет системи. Полезни са.

Редактирано Януари 8, 2022 от scaner

[Ниkи]

Преди 1 час, gmladenov said:

Ники, продължаваме да ги виждаме различно нещата.

Защо не направиш една графика като моите, в които отляво показваш стационарната
система, а отдясно примовата система. Да видим какво ще излезе.

Ето ти реалното разположение. Ако искаш ос Х да е по направление на движението, завърти монитора  

Избери си, кое искаш да гледаш, Влак или Прът.

 

Редактирано Януари 8, 2022 от Ниkи

[gmladenov]

Преди 5 минути, Ниkи said:

Ето ти реалното разположение. Ако искаш ос Х да е по направление на движението, завърти монитора

Ники, както съм казвал и преди: Лоренцовата трансфромация (ЛТ) не е валидна за
диагонални движения (като в твоя пример). За такива движения тя се дъни.

Ти прилагаш ЛТ за такова движение и съвсем закономерно получаваш парадоксален резултат.
ЛТ работи коректно само за движения по оста Х.

Отделен въпрос е защо ЛТ се дъни за диагонални движения. Галилеевата трансформация,
например, не се дъни.

Както и да е. Парадоксът в твоя пример е следствие от некоректно прилагане на ЛТ.
Ако ти не го приемаш това, тогава оставаме на различни позиции ... което е ОК. Поздрави.

[Ниkи]

Преди 29 минути, gmladenov said:

ЛТ работи коректно само за движения по оста Х.

Сега как е?

 

[gmladenov]

Преди 3 минути, Ниkи said:

Сега как е?

Така изглежда вярно.

[Ниkи]

Преди 17 часа, gmladenov said:

Не е така. Аз специално уточних, че диагоналното движение от неговия пример
е еквивалентно на "завъртяно хоризонтално" движение.

При това положение вече можем да прилагаме простата форма на Лоренцовата
трансформация.

Ако не беше завъртането, тогава ти си напълно прав и трябва да се направи това,
което ти казаваш.

Моята идея беше да покажа, че диагоналното движение може да се сведе до
хоризонтално ... и тогава смятаме по простата формула и всички си идва на мястото.

Не е ли все едно, дали ще завъртиш координатната с-ма или ще завъртиш картинката?

Преди 20 часа, gmladenov said:

Така че успоредността между обект в покой и обект в движение не се нарушава.

Сега убеди ли се, че може и да се наруши?

[gmladenov]

Преди 1 минута, Ниkи said:

Не е ли все едно, дали ще завъртиш координатната с-ма или ще завъртиш картинката?

Когато две координатни системи К и К' са в движение една спрямо друга, конвенцията е,
че осите Х и Х' съвпадат, а осите У и Z са съответно успоредни на осите У' и Z'.

Значи не е важно дали гледаш картинката с главата надолу , а дали имаш съвпадение
на осите Х и Х' и успоредност на осите У и У и съответно Z и Z'.

Това е конвенцията ... и Лоренцовата транформация работи коректно само за тази
конфигурация.

 

Цитирай

Сега убеди ли се, че може и да се наруши?

Не ... защото като направиш сметките ще излезе, че както пръта си е сменил наклона
в примовата система, така стената и релсата също са си сменили наклона. Съотвентно
успоредеността между тях се запазва и при новия наклон.

[Ниkи]

Преди 7 минути, gmladenov said:

Когато две координатни системи К и К' са в движение една спрямо друга, конвенцията е,
че осите Х и Х' съвпадат, а осите У и Z са съответно успоредни на осите У' и Z'.

Значи не е важно дали гледаш картинката с главата надолу , а дали имаш съвпадение
на осите Х и Х' и успоредност на осите У и У и съответно Z и Z'.

Чул ли си за ротация на Коорд с-ма?

Матрица на ротация – Уикипедия (wikipedia.org)

Можеш спокойно да завъртиш Коорд с-ма, така че ос Х да съвпадне с движението и после по тази формула...

,

.

...да трансформираш координатите в оригиналната коорд с-ма

А ето  ТУК е обяснен този метод специално за решаване на ЛТ

Преди 15 минути, gmladenov said:

Цитирай

Сега убеди ли се, че може и да се наруши?

Не ... защото като направиш сметките ще излезе, че както пръта си е сменил наклона
в примовата система, така стената и релсата също са си сменили наклона. Съотвентно
успоредеността между тях се запазва и при новия наклон.

Да виждаш в тази, одобрена от теб картинка, запазване на успоредност? Как едновременно гледаш и от двете ОС  ?

[scaner]

Преди 1 час, gmladenov said:

Не ... защото като направиш сметките ще излезе, че както пръта си е сменил наклона
в примовата система, така стената и релсата също са си сменили наклона. Съотвентно
успоредеността между тях се запазва и при новия наклон.

Ето да видиш къде бъркаш.

Това е твоята картинка:

Гледаме дясната част. Там пръта се доближава към стената. Но поради релативистското скъсяване, прътът не само ще промени дебелината си, но ще се промени дължината на проекцията му върху хоризонталната ос. Което ще доведе до накланяне спрямо равнината на стената

Внимателно със сметките, Младенов!

[gmladenov]

Преди 5 часа, Ниkи said:

Да виждаш в тази, одобрена от теб картинка, запазване на успоредност? Как едновременно гледаш и от двете ОС  ?

Картинката като цяло изглежда правилна ... но за да е напълно правилна, трябва да се
направят сметките. Едва тогава ще се види дали успоредността се запазва или не.
Гарантирам ти, че при коректно направени сметки, успоредността ще се запази.

Принципно, ето цитат от оригиналния реферат на Айнщайн, първи абзац от алинея §3:

• Пусть в «покоящемся» пространстве даны две  координатные  системы,
  каждая с тремя взаимно-перпендикулярными осями, выходящими из одной
  точки. Пусть оси X обеих систем совпадают, а оси Y и Z — соответственно
  параллельны.

Както ти казах, конвенцията е осите Х и Х' да съвпадат. Само тогава Лоренцовата
трансформация (ЛТ) работи коректно ... а в твоята първоначална постановка осите
Х и Х' не съвпадат.

Докато не дадеш пример, в който те съвпадат, няма как да броим прилагането на ЛТ
за коректно.

[gmladenov]

Преди 5 часа, scaner said:

Ето да видиш къде бъркаш.

Скенер, картинката не показва това, което си мислиш.

В първоначална постановка на Ники, координатните системи на пръта и стената се движат
диагонално една спрямо друга. Това означава, че той представя инерциалното/линейно
движение между тях като движение в две измерения: Х и У.

А както пише в учебниците по кинематика, едно линейно движение винаги може да се
представи като движение в едно измерение. Именно това показва картинката от
вчерашния ми постинг. Ето я пак.

Ляво: линейно движение в две измерения (Х и У). Дясно: същото това движение, но
представено като движение само по оста Х ... както е конвенцията.

В примера на Ники ситуацията е еквивалентна. Ляво: движението на червения прът
спрямо синята стена е двуизмерно (по Х и по У). Дясно: същото това движение, но
представено като движение само по оста Х ... както е конвенцията.

[gmladenov]

Преди 7 часа, Ниkи said:

А ето  ТУК е обяснен този метод специално за решаване на ЛТ

Сега го погледнах и за "произвольной ориентации осей" дават "страшната" формула, която
Скенер даде от самото начало.

Аз никога не съм я ползвал, но явно тя трябва да се ползва в твоята първоначална постановка.
Гаранция-Франция, обаче, че с нея също няма да излезе парадокс.

На мен лично ми изглежда по-лесно да представиш твоя пример като движение само по оста Х
и да ползваш простата/оригинална форма на ЛТ.

Редактирано Януари 9, 2022 от gmladenov

[scaner]

Преди 4 часа, gmladenov said:

В примера на Ники ситуацията е еквивалентна. Ляво: движението на червения прът
спрямо синята стена е двуизмерно (по Х и по У). Дясно: същото това движение, но
представено като движение само по оста Х ... както е конвенцията.

Е хубаво де, нали точно това коментирам? Нещо не вникваш в казаното от мен, или не го четеш щото си мислиш че знаеш какво казвам...

След като си свел движението само по оста Х, карай до края! До какво води това?

Имаш пръта като движеща се наклонена отсечка по по направление Х. Поради накллона си, тази отсечка има проекция по Х, така и по Y. Поради релативистските ефекти при това движение ще имаме скъсяване на проекцията по Х, но не и проекцията по Y (напомням, новите Х и Y, след завъртането, дясната част на картинката). Значи пръта ще придобие по-"изправена" стойка поради това скъсяване. Гранично, ако пръта се движи със скоростта на светлината, проекцията му по Х ще изчезне съвсем, прътът ще бъде изправен строго вертикално. Е, тази промяна в проекциите го прави наклонен спрямо стената. Ако я нямаше, щеше да е паралелен, както на картинката която си дал, както е според класическата кинематика. Което се и търсеше Тоест и картинката е грешна и не отразява релативистският случай.

Не ми давай за пример класическата кинематика, тук сме в друга Индия, със собствени правила.