Нерешените математически проблеми на хилядолетието

[mnogoznaiko]

Седемте задачи, за които Математическият институт "Клей" предлага награда от 1 милион долара

Проблемите на хилядолетието са седем изключително сложни математически задачи, избрани от Математическия институт "Клей" в Кеймбридж, Масачузетс (CMI) през 2000 година. Институтът е обещал награда от 1 милион щатски долара за първото коректно решение на всеки от тези проблеми.

Тези награди са били създадени с цел да отбележат някои от най-трудните проблеми, с които математиците са се борили в началото на второто хилядолетие; да повишат в съзнанието на широката общественост факта, че в математиката границата все още е отворена и изобилства от важни нерешени проблеми; да подчертаят важността на работата към решение на най-дълбоките, най-трудни проблеми; и да признаят постиженията в математиката с историческа значимост.

Математическият институт "Клей" официално определи заглавието "Проблеми на хилядолетието" за седемте нерешени математически проблема: хипотезата на Бърч и Суинъртън-Дайър, хипотезата на Ходж, съществуване и гладкост на решенията на уравненията на Навие-Стокс, проблемът P срещу NP, хипотезата на Риман, съществуване и масов процеп на теорията на Янг-Милс, и хипотезата на Поанкаре. Това се е случило на Срещата на хилядолетието, проведена на 24 май 2000 г.

До момента единственият решен проблем от хилядолетието е хипотезата на Поанкаре. Институтът "Клей" присъди паричната награда на руския математик Григорий Перелман през 2010 г. Той обаче отказа наградата, тъй като тя не е била предложена и на Ричард С. Хамилтън, върху чиято работа Перелман доразвива своето доказателство.

Институтът "Клей" се вдъхновява от набор от двадесет и три проблема, организирани от математика Давид Хилберт през 1900 г., които са оказали силно влияние върху развитието на математиката през двадесети век. Седемте избрани проблема обхващат редица математически области: алгебрична геометрия, аритметична геометрия, геометрична топология, математическа физика, теория на числата, частни диференциални уравнения и теоретична компютърна наука. За разлика от проблемите на Хилберт, проблемите, избрани от Института "Клей", вече са били известни сред професионалните математици, като много от тях активно са работили за тяхното решаване.

Седемте проблема са били официално официално обявени по време на церемония, проведена на 24 май 2000 г. в Колеж дьо Франс в Париж. На тази среща са представени три лекции: Тимъти Гауърс говори за значението на математиката, а Майкъл Атия и Джон Тейт за самите проблеми:

 

Седемте проблема на хилядолетието бяха избрани от учредителния Научен консултативен съвет на CMI, който се консултира с водещи експерти от цял свят. Фокусът на съвета беше върху важни класически въпроси, които са устоявали на решение в продължение на много години.

След решението на Научния консултативен съвет, Бордът на директорите на CMI определи награден фонд от 7 милиона долара за решенията на тези проблеми, с 1 милион долара, разпределени за решението на всеки проблем.

Любопитно е, че един от седемте проблема на хилядолетието, хипотезата на Риман, формулирана през 1859 г., също се появява в списъка от двадесет и три проблема, обсъждани в обръщението, дадено в Париж от Давид Хилберт на 9 август 1900 г.

Андрю Уайлс, като част от научния консултативен съвет на Института "Клей", се надяваше, че изборът на награда от 1 милион долара ще популяризира сред широката общественост както избраните проблеми, така и "вълнението от математическите усилия". Друг член на борда, носителят на медала Фийлдс Ален Кон, се надяваше, че публичността около нерешените проблеми ще помогне за борба с "погрешната идея" сред обществеността, че математиката ще бъде "изместена от компютрите".

Някои математици са по-критични. Анатолий Вершик характеризира паричната награда като "шоу бизнес", представляващ "най-лошите прояви на съвременната масова култура", и смята, че има по-смислени начини за инвестиране в общественото признание на математиката. Той разглежда повърхностното медийно отразяване на Перелман и неговата работа, с непропорционално внимание, поставено върху самата стойност на наградата, като неизненадващо. За разлика от това, Вершик похвали прякото финансиране от Института "Клей" на изследователски конференции и млади изследователи. Коментарите на Вершик по-късно бяха повторени от носителя на медала Фийлдс Шинг-Тунг Яу, който допълнително критикува идеята една фондация да предприема действия за "присвояване" на фундаментални математически въпроси и "да прикрепя името си към тях".

Решеният проблем: Хипотезата на Поанкаре

Григорий Перелман излага своето доказателство на хипотезата на Поанкаре на семинар в Принстънския университет, април 2003 г.

Компактна 2-мерна повърхност без граница е топологично хомеоморфна на 2-мерна сфера, ако всеки контур може да бъде непрекъснато стегнат до точка. Хипотезата на Поанкаре твърди, че същото е вярно и за 3-мерните пространства.

В областта на геометричната топология двумерната сфера се характеризира с факта, че тя е единствената затворена и просто свързана двумерна повърхност. През 1904 г. Анри Поанкаре постави въпроса дали аналогично твърдение е вярно за тримерните форми. Това стана известно като хипотезата на Поанкаре, точната формулировка на която гласи:

Всяко едносвързано компактно тримерно многообразие без край е хомеоморфно на тримерна сфера

Въпреки че хипотезата обикновено се формулира по този начин, тя е еквивалентна (както беше открито през 1950-те години) да се постави в контекста на гладките многообразия и дифеоморфизмите.

Доказателство на тази хипотеза, заедно с по-мощната хипотеза за геометризация, беше дадено от Григорий Перелман през 2002 и 2003 г. Решението на Перелман завършва програмата на Ричард Хамилтън за решаване на хипотезата за геометризация, която той е развивал в продължение на предходните двадесет години. Работата на Хамилтън и Перелман се е въртяла около потока на Ричи на Хамилтън, сложна система от частни диференциални уравнения, дефинирани в областта на римановата геометрия.

За приноса си към теорията на потока на Ричи, Перелман получи медала Фийлдс през 2006 г. Той обаче отказа да приеме наградата. За доказателството си на хипотезата на Поанкаре, Перелман получи Наградата на хилядолетието на 18 март 2010 г. Той обаче отказа наградата и свързаните с нея пари, заявявайки, че приносът на Хамилтън не е по-малък от неговия собствен.

Повече по този въпрос може да прочетете тук: https://nauka.offnews.bg/matematika/hipotezata-na-poankare-poslednata-reshena-nereshima-zadacha-750.html

Нерешените проблеми

Шестте нерешени проблема на хилядолетието са:

1. Хипотезата на Бърч и Суинъртън-Дайър
2. Хипотезата на Ходж
3. Съществуване и гладкост на решенията на уравненията на Навие-Стокс
4. P срещу NP
5. Хипотезата на Риман
6. Съществуване и масов процеп на теорията на Янг-Милс

Хипотезата на Бърч и Свинъртън-Дайър

Подкрепена от множество експериментални доказателства, тази хипотеза свързва броя на точките върху елиптична крива mod p с ранга на групата от рационални точки. Елиптичните криви, дефинирани чрез кубични уравнения с две променливи, са фундаментални математически обекти, които се появяват в много области: доказателството на Уайлс за хипотезата на Ферма, факторизацията на числа на прости множители и криптографията, за да споменем само три.

Математиците винаги са били очаровани от проблема за описване на всички решения с цели числа x, y, z на алгебрични уравнения като

x² + y² = z²

Евклид е дал пълното решение за това уравнение, но за по-сложни уравнения това става изключително трудно. Всъщност, през 1970 г. Ю. В. Матиясевич показа, че десетият проблем на Хилберт е нерешим, т.е. не съществува общ метод за определяне кога такива уравнения имат решение с цели числа. Но в специални случаи можем да се надяваме да кажем нещо. Когато решенията са точките на абелева разновидност, хипотезата на Бърч и Свинъртън-Дайър твърди, че размерът на групата от рационални точки е свързан с поведението на свързаната зета функция ζ(s) близо до точката s=1. По-специално, тази удивителна хипотеза твърди, че ако ζ(1) е равно на 0, тогава съществуват безкраен брой рационални точки (решения), и обратно, ако ζ(1) не е равно на 0, тогава съществува само краен брой такива точки.

Хипотезата на Ходж

Отговорът на тази хипотеза определя колко от топологията на множеството от решения на система алгебрични уравнения може да бъде дефинирано чрез допълнителни алгебрични уравнения. Хипотезата на Ходж е доказана в определени специални случаи, например когато множеството от решения има размерност по-малка от четири. Но в размерност четири тя остава неизвестна.

През двадесети век математиците откриха мощни начини за изследване на формите на сложни обекти. Основната идея е да се попита до каква степен можем да приближим формата на даден обект чрез залепване на прости геометрични градивни блокове с нарастваща размерност. Тази техника се оказа толкова полезна, че беше обобщена по много различни начини, което в крайна сметка доведе до мощни инструменти, позволяващи на математиците да постигнат голям напредък в каталогизирането на разнообразието от обекти, които срещат в своите изследвания. За съжаление, геометричните произходи на процедурата станаха неясни в това обобщение. В някакъв смисъл беше необходимо да се добавят части, които нямат никаква геометрична интерпретация. Хипотезата на Ходж твърди, че за особено добри типове пространства, наречени проективни алгебрични многообразия, частите, наречени цикли на Ходж, всъщност са (рационални линейни) комбинации от геометрични части, наречени алгебрични цикли.

Уравнението на Навие-Стокс

Това е уравнението, което управлява потока на флуиди като вода и въздух. Въпреки това, не съществува доказателство за най-основните въпроси, които можем да зададем: съществуват ли решения и единствени ли са те? Защо да искаме доказателство? Защото доказателството дава не само сигурност, но и разбиране.

Вълните следват нашата лодка, докато лъкатушим през езерото, а турбулентните въздушни течения съпътстват полета ни в модерен самолет. Математиците и физиците вярват, че обяснение и предсказване както на бриза, така и на турбуленцията, могат да бъдат намерени чрез разбиране на решенията на уравненията на Навие-Стокс. Въпреки че тези уравнения са били записани през 19-ти век, нашето разбиране за тях остава минимално. Предизвикателството е да се постигне значителен напредък към математическа теория, която ще отключи тайните, скрити в уравненията на Навие-Стокс.

P срещу NP

Ако е лесно да се провери, че решението на даден проблем е правилно, лесно ли е също и да се реши самият проблем? Това е същността на въпроса P срещу NP. Типичен пример за NP проблемите е Проблемът за Хамилтоновия път: при дадени N града за посещение, как може да се посети всеки от тях, без да се минава през град два пъти? Ако ми дадете решение, мога лесно да проверя дали е вярно. Но не мога толкова лесно да намеря решение.

Представете си, че организирате настаняване за група от четиристотин университетски студенти. Пространството е ограничено и само сто от студентите ще получат места в общежитието. За да усложни ситуацията, Деканът ви е предоставил списък с двойки несъвместими студенти и е поискал никоя двойка от този списък да не се появява във вашия краен избор. Това е пример за това, което компютърните учени наричат NP-проблем, тъй като е лесно да се провери дали даден избор на сто студенти, предложен от колега, е задоволителен (т.е. никоя двойка, взета от списъка на колегата, не се появява и в списъка от кабинета на Декана), обаче задачата за създаване на такъв списък от нулата изглежда толкова трудна, че да бъде напълно непрактична.

Всъщност, общият брой начини за избиране на сто студенти от четиристотинте кандидати е по-голям от броя на атомите в познатата вселена! Така че никоя бъдеща цивилизация не би могла да се надява да построи суперкомпютър, способен да реши проблема чрез груба сила; тоест, чрез проверка на всяка възможна комбинация от 100 студенти. Въпреки това, тази привидна трудност може да отразява само липсата на изобретателност на вашия програмист. Всъщност, един от нерешените проблеми в компютърните науки е да се определи дали съществуват въпроси, чийто отговор може бързо да се провери, но които изискват невъзможно дълго време за решаване чрез каквато и да е директна процедура. Проблеми като този, описан по-горе, със сигурност изглеждат от този вид, но досега никой не е успял да докаже, че някой от тях наистина е толкова труден, колкото изглежда, т.е. че наистина няма осъществим начин да се генерира отговор с помощта на компютър. Стивън Кук и Леонид Левин формулират проблема P (т.е. лесен за намиране) срещу NP (т.е. лесен за проверка) независимо един от друг през 1971 г.

Хипотезата на Риман

Теоремата за простите числа определя средното разпределение на простите числа. Хипотезата на Риман ни информира за отклонението от това средно разпределение. Формулирана в труда на Риман от 1859 г., тя твърди, че всички "неочевидни" нули на зета функцията са комплексни числа с реална част 1/2.

Някои числа притежават специалното свойство, че не могат да бъдат изразени като произведение на две по-малки числа, например 2, 3, 5, 7 и т.н. Такива числа се наричат прости числа и те играят важна роля както в чистата математика, така и в нейните приложения. Разпределението на тези прости числа сред всички естествени числа не следва никакъв правилен модел. Въпреки това, германският математик Г.Ф.Б. Риман (1826 – 1866) забелязва, че честотата на простите числа е много тясно свързана с поведението на една сложна функция ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + … наречена Зета функция на Риман. Хипотезата на Риман твърди, че всички интересни решения на уравнението ζ(s) = 0 лежат на определена вертикална права линия.

Това е проверено за първите 10,000,000,000,000 решения. Доказателство, че това е вярно за всяко интересно решение, би хвърлило светлина върху много от мистериите, обграждащи разпределението на простите числа.

Теория на Янг-Милс и Проблемът на Масовата Разлика

Експериментите и компютърните симулации предполагат съществуването на "масова разлика" в решението на квантовите версии на уравненията на Янг-Милс. Но няма известно доказателство на това свойство.

Законите на квантовата физика стоят към света на елементарните частици така, както законите на класическата механика на Нютон стоят към макроскопичния свят. Преди почти половин век, Янг и Милс въведоха забележителна нова рамка за описване на елементарните частици, използвайки структури, които се срещат и в геометрията. Квантовата теория на Янг-Милс сега е основата на по-голямата част от теорията на елементарните частици и нейните предсказания са били тествани в много експериментални лаборатории, но математическата ѝ основа все още е неясна. Успешното използване на теорията на Янг-Милс за описване на силните взаимодействия на елементарните частици зависи от едно тънко квантово-механично свойство, наречено "масова разлика": квантовите частици имат положителни маси, въпреки че класическите вълни се движат със скоростта на светлината. Това свойство е открито от физиците експериментално и потвърдено чрез компютърни симулации, но все още не е разбрано от теоретична гледна точка. Напредъкът в установяването на съществуването на теорията на Янг-Милс и масовата разлика ще изисква въвеждането на фундаментално нови идеи както във физиката, така и в математиката.

Проблемите на хилядолетието представляват някои от най-важните нерешени въпроси в съвременната математика. Те обхващат различни области на математиката и имат потенциални приложения в редица други науки. Наградата от 1 милион долара, предложена от Института "Клей", е допринесла за повишаване на обществената осведоменост относно тези проблеми, въпреки че решаването им вероятно е мотивирано повече от интелектуалното предизвикателство, отколкото от паричната награда, както показва примерът с Григорий Перелман.

До момента само хипотезата на Поанкаре е решена, което оставя шест проблема на хилядолетието като отворени предизвикателства за бъдещите поколения математици.

[Gravity]

Това е старо и за него вече има теми тук. Но също така е хубаво да се цитират изтучниците, ако текста не си го писал ти.

https://www.claymath.org/millennium-problems/

[mnogoznaiko]

Дай линкове към тези теми тук, може да ги съберем на едно място.

А материала съм го писал аз, като съм използвал основно Wikipedia и линка, който споделяш ти.

[Gravity]

Преди 6 часа, mnogoznaiko said:

Дай линкове към тези теми тук, може да ги съберем на едно място.

Преди 6 часа, mnogoznaiko said:

А материала съм го писал аз, като съм използвал основно Wikipedia и линка, който споделяш ти.

Може да си го писал, но е директен превод.