Теория за 3.3

[Albert*Einstein]

Погледнете следния пример:

1. 10/3=3.3333 (безкрайност)

2. 3*3.3333 (безкрайност)=10

3. 3*3.3333=9.9999

В първия случай получаваме, че десет като го разделим на три се получава три цяло и 3 в безкрайност. Но ако това 3.3333 в безкрайност го умножим пак по 3 се получава 9.9999 в безкрайност??? Как става така, някой може ли да ми обясни или това е дефект на калкулатора???

[promis]

3*3.3333(3) = 9.9999(9) = 10

По темата: http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... (на английски)

[Albert*Einstein]

Не бях се сетил там търся

В математиката, безкрайната периодична десетична дроб 0.999... (записвана като 0,(9), т.е. имаме безкраен брой деветки след десетичната запетая) обозначава реалното число 1 (друго представяне на числото 1 е 1.000..., т.е. 1.(0)). Често се дава се като класически пример в уводните курсове по реален анализ. Съществуват различни математически доказателства на това твърдение, с различна строгост, в зависимост от познанията на слушателите, пред които се представя.

През последните десетилетия, учени, занимаващи се с методиката на преподаването изследват как студентите приемат равенството 0.999...=1. Немалка част от тях отхвърлят факта, поне отначало. Но много са убедени от учебници, преподаватели, чрез математическо доказателство в горното равенство. Разсъжденията, правени от студентите, често се основават на грешна интуиция, свързана с природата на реалните числа: че всяко реално число може да се запише по единствен начин или че съществуват ненулеви инфинитезимали.

Фактът, че 1 няма уникално представяне съвсем не е ограничен до десетичната бройна система - така е и при бройните системи с основа естествено число. Теоретично, математиците са определили и начините за записване на 1 в бройни системи с основа произволно реално число. Този факт не е ограничен само до числото 1: Всяко реално число, различно от 0, което не е безкрайна дроб, има „близнак“, безкрайна периодична дроб, която завършва с безкраен брой деветки. Например, числото 7.51986 може да се запише и като 7.51985(9). За простота, обикновено се изписва числото, чиито запис е с крайна дължина. Този любопитен факт намира приложение в разбирането на структурата на десетичните дроби, както и в разбирането на структурата на прости фрактали, като множеството на Кантор.

Възможно е да бъдат построени числени множества, в които 0.(9) e строго по-малко от 1, с много различни свойства от множеството на реалните числа, но математическият апарат за това надхвърля средствата, познати на елементарната висша математика.

0.(9) е число, записано в десетичната бройна система, и най-простите доказателства се основават на аритметичните свойства на тази бройна система. Аритменичните действия за реалните числа - събиране, изваждане, умножение, деление, се основават на действия са дефинирани на основата на целите числа. Както и при целите числа, ако разглеждаме реални числа, които не са безкрайни десетични дроби, различен запис означава, че разглеждаме различни числа. В частност, всяко число, което се записва като 0.999...9, т.е. след десетичната запетая имаме краен брой деветки, е строго по-малко от 1.

Съществуват множество доказателства, че 0.(9) = 1. Преди да предложим алгебрично доказателство на този факт, трябва да направим няколко уточнения: две реални числа са еднакви, тогава и само тогава когато тяхната разлика не е равна на никое положително реално число. Следва да докажем, че разликата между 1 и 0.(9) е по-малка от всяко такова число.

За разлика от целите числа, дробите могат да бъдат представяни по безброй начини. Например, 1⁄3 = 2⁄6. Някои от безкрайните десетични дроби, обаче, могат да се представят максимум по два начина, като ако единия завършва с безкраен брой деветки, другия е краен, и завършва с 0 (т.е. да завършва с безкраен брой нули).

Студенти, дори по математика и точни науки, често отхвърлят равенството 0.(9) = 1, най-вече поради грешно разбиране на математичната природа на границата или на проблема за инфинитезималите (архимедовостта на множеството на реалните числа). Има много фактори, оказващи влияние върху това недоразумение:

Не малко студенти са убедени, че дадено число може да бъде представено по един-единствен начин. Разглеждането на две привидно различни десетични дроби изглежда парадоксално, усещане, което се засилва от привидно добре познатото число 1. [1].

Някои студенти разглеждат „0.999…“ като голям, но краен ред от деветки, с неопределена дължина.

Интуицията и двоякото преподаване карат студентите да мислят за границата като за безкраен процес, вместо за строго определена стойност, след като редицата не достига стойността на своята граница. Понякога, след като студентите разберат разликата между числова редица и нейната граница, те интерпретират „0.999…“ като съответната числова редица, а не като нейната граница. [1]

Някои разглеждат 0.999… като фиксирана величина, която се отличава от 1 с безкрайно малка стойност. (т.e. 1 - 0.999… = 10-∞)

Забележка: Важно е да се отбележи, че 10-∞ няма математически смисъл. Приемането на обратното е обичайна грешка. Правилно е да се каже, че границата на 10k, когато k→-∞, е 0.

Някои смятат, че стойността на сходящ числов ред е приближение, а не неговата истинска стойност.

Тези убеждения са грешни в контекста на стандартния реален анализ, въпреки че някои могат да бъдат верни в нестандартния анализ.

Тези грешки са описани от проф. Дейвид Тол, в неговата статия[1], който изследвал методиката на преподаване и научаването сред студентите. Мнозинството от интервюираните от него студенти приемат 0.(9) като най-близкото до 1 число, отстоящо на безкрайно малко разстояние от него.

[Albert*Einstein]

Доколко теорията за фракталите на Беноа Манделброт (множеството М) доказва следното:

0,9999(9)*1.0001(1) след хиляди умножения дава резултат, различен от 1,1(1), тоест надвхърля реалното число 1 (единица)? Реално няма как 1*1=1,1(1), тогава как се получава това множество???