Падат ли тела с различна маса с една и съща скорост?

[B0081]

Включих се в темата, защото случайно попаднах на нея. Първият пост нищо не казва, само задава въпроса. (т.е. казва го в цитата на Хокинг, но никой не обърна внимание)

Отговора е много точен и прост - дадох го в първия си пост в тоя форум.

И това не е никакво приближение, а абсолютно точен отговор- прочетете го пак.

- а вие се задълбахте със съпротивления и др. - няма нужда от тях!

Аз не съм намесвал съпротивление на въздуха (атмосферата). Когато се твърди че телата падат с еднакви ускорения, независимо от масата им, се има предвид във вакум.

Иначе, дори и да имаме две еднакви по форма тела , но различни по маса, то при въздушното съпротивление, тялото с по голяма маса, ще падне по рано от другото.

Ще те питам следния въпрос :

Ако имаме едно тяло чиято маса е колкото масата на Земята. Това тяло ще пада ли със същото ускорние с каквото пада тяло с теглото един килограм ?

Редактирано Септември 1, 2012 от B0081

[warhead]

a₁ = a₂ = (G.M)/r²

излиза, че не зависи от съпротивлението на въздуха, ако двете тела са еднакви по размер, но с различна маса,

имаш едно гюле и една топка от стиропор примерно със същия размер - те ще падат едновременно?

Изглежда ти е убягнало, че постингът ми завършва с "Така доказваме, че във вакуум двете тела с различна маса падат с еднакво ускорение."

Ако, обаче, разглеждаме падането във въздушна среда, вече върху телата действа и сила на съпротивление на въздуха, нека я означим с F_c. Да допуснем, че двете тела имат еднаква форма,обем,гладкост на повърхността, така че съпротивлението на въздуха да е еднакво и за двете - при това положение уравненията на движение на двете тела добиват следния вид:

F₁ - F_c = m₁a₁

F₂ - F_c = m₂a₂

За F₁ и F₂ вече знаем, че

F₁ = G(M.m₁)/r²

F₂ = G(M.m₂)/r²

Така първите две равенства добиват вида :

G(M.m₁)/r² - F_c = m₁a₁

G(M.m₂)/r² - F_c = m₂a₂

Сега разделяме равествата съответно на m₁ и m₂ :

(G.M)/r² - F_c /m₁ = a₁

(G.M)/r² - F_c /m₂ = a₂

От последните равенства ясно се вижда, че ако m₁≠m₂, то и a₁≠a₂, защото F_c /m₁ ≠ F_c /m₂

Заслугата на Галилей е именно в анализа му за влиянието на члена F_c /m. Виждаме, че този член може да се намали по два начина - като се намали F_c или като се увеличи m. Галилей, както знаем, прави многобройни опити, увеличавайки масата на падащото тяло. Той установява, че с увеличаване на масата, разликите във времената на падане намаляват, защото намалява и разлика (F_c /m₁) - (F_c /m₂). Така Галилей достига до извода, че във вакуум, където F_c = 0 и съответно F_c /m = 0, времето на падане за всички тела ще е еднакво, съответно и ускорението им ще е еднакво.

Редактирано Септември 1, 2012 от warhead

[B0081]

a₁ = (G.M)/r²

А ако масата на тялото за което правим изчисленията е равна на масата на Земята или по голяма ?

Редактирано Септември 1, 2012 от B0081

[lilivan]

ами, какво да ви отговоря, като вече отговорих по няколко начина много просто на поставената тема

освен сега да кажа, чи ми приличате на феодалните старци

[B0081]

Няма проблеми.

Редактирано Септември 1, 2012 от B0081

[warhead]

А ако масата на тялото за което правим изчисленията е равна на масата на Земята или по голяма ?

Тази задача е известна в Небесната Механика като "Задача за двете тела". Ето ти статия от руската википедия, където набързо може да добиеш някаква представа:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_двух_тел

Ако ти стане интересно, ето ти едно обширно учебно пособие по темата:

http://almucantarat.astro.spbu.ru/sites/default/files/TwoBody.pdf

Редактирано Септември 2, 2012 от warhead

[Joro-01]

Включих се в темата, защото случайно попаднах на нея. Първият пост нищо не казва, само задава въпроса. (т.е. казва го в цитата на Хокинг, но никой не обърна внимание)

Отговора е много точен и прост - дадох го в първия си пост в тоя форум.

И това не е никакво приближение, а абсолютно точен отговор- прочетете го пак.

- а вие се задълбахте със съпротивления и др. - няма нужда от тях!

Цитирах те като започнах да пиша, затова намесих съпротивлението на въздуха.

Редактирано Септември 2, 2012 от Joro-01

[B0081]

Аз имам някаква представа.

Исках да го обсъдим.

[warhead]

Аз имам някаква представа.

Исках да го обсъдим.

Ами хубаво, но не виждам какво може да се коментира - това е въпрос, който отдавна е решен, има го във всеки учебник по Теоретична механика, просто взимаш един сериозен учебник, четеш, научаваш и това е, въпрос на свободно време и желание за учене

[Orbit]

On 20.09.2011 г. at 22:11, B0081 said:

При свободно падане телата се движат с различна скорост. Но разликата е толкова малка че на практика трудно може да бъде измерена.

 

По лесна аналогия може да получим като си предстваим вместо Луна, един килограм гюле орбитиращо на същата орбита. От условието - че скороста на телата не зависи от тяхната маса и обем, би трябвало да се очаква поведението на орбитата на гюлето да е същото както и на орбитата на Луната. На практика обаче двете орбити (на гюлето и на Луната), няма да са еднакви. Тука в сметките влиза вече и общият център на масите. При тела с принебрежителна маса този център не се взима под внимание, или с други думи , не се отчита движението на земята към пробните тела.

 

Всъщност за скоростите не съм съвсем сигурен, (трябва да се изчислява).

Но за това че двете тела (гюлето и Луната) едновременно не могат да се намират на една и съща орбита съм сигурен.

Оригиналния въпрос на темата е  : 

"Дали телата с различна маса падат с една и съща скорост." ?

Това по горе е моя отговор от преди години когато бях със стария си nickname.

Та, понеже не видях отговор който би ме удовлетворил, искам да го напиша, така както е коректно. 

Отговорът на този въпрос : "Дали телата с различна маса падат с една и съща скорост." ? се крие в самия въпрос. Понеже отговорът на този въпрос не може да бъде даден преди да се уточни самия въпрос.

За да "падат" телата с различна маса с една и съща скорост, е необходимо да се спазва условието общата маса която си взаимодейства да остава една и съща. 

Например имаме две маси едната е 100 кг и 1 кг , общата им маса е 101 кг. Колкото и да разделяме масата например на 51 кг и 50 кг  или на 71 кг и 30 кг ако общата им маса остава 101 кг , то те ще "падат" едно към друго с еднаква обща скорост . Разбира се при еднакво разстояние м/у тях. Поне това показват сметките . И още нещо, винаги когато говорим за гравитационно превличане и известната формула на Нютон, винаги се взема общата маса, общата скорост и общото разстояние. 

Ако това го применим към Земята  то разликата е незабележима за малките по маса тела. Но математически това е факт.И разбира се пренебрегваме въздушната среда. 

 

Редактирано Юли 15, 2020 от Orbit

[makebulgar]

Тоест телата падат с различна скорост, но тъй като масата на чука и перото е приблизително една и съща сравнено с масата на Земята, то ни се струва че падат с една и съща скорост. 

[Orbit]

Преди 1 час, makebulgar said:

Тоест телата падат с различна скорост, но тъй като масата на чука и перото е приблизително една и съща сравнено с масата на Земята, то ни се струва че падат с една и съща скорост. 

Не, телата "падат" с еднаква скорост , ако се запазва общата им маса.

В конкретния случай със Земята на нивото на "вестникарското" приближение, телата "падат" с еднаква скорост, понеже разликата на масите на телата които пускаме да "падат" са пренебрежимо малки спрямо масата на Земята. 

Но математически за да бъде това твърдение справедливо, ние трябва строго да дефенираме какви са условията на задачата. Например ако ние пуснем един килограм от два метра височина, то той ще "падне" на Земята за някакво време ( със съответната скорост) . Ако ние пуснем два килограма от същата височина, то тези два килограма ще "паднат" за същото време както и един килограм (със същата скорост) , но при условие че единият килограм е останал да лежи на Земята.  Ако този един килограм не е останал да лежи на Земята и да кажем го елеменираме от задачата, то двата килограма ще "паднат" за по дълго време и с по малка скорост. 

Някой може да каже че това се подразбира от само себе си, или че разликата е толкова малка че няма смисъл от уточнения. Но според мен е важно да се разбере механизмът и пропорционалните зависимости които дават формулите. Аз това го давам вече като сдъвкана през изчисленията информация. И като казвам това че трябва да е ясен механизмът на това явление ще дам този пример : Ако пуснем едновременно две тела с различна маса (1 кг и 2 кг)  от еднаква височина да "падат" към Земята то те ще "падат" с различна скорост и за различно време. 

Редактирано Юли 16, 2020 от Orbit

[makebulgar]

Преди 1 час, Orbit said:

Ако пуснем едновременно две тела с различна маса (1 кг и 2 кг)  от еднаква височина да "падат" към Земята то те ще "падат" с различна скорост и за различно време. 

Падат с различна скорост.. а каква е точно разликата? Примерно за чук от 2 кг и перо от 10 гр ако решим да сметнем разликата каква ще е тя (без да закръгляваме и с възможност да използваме хиляди знаци след запетаята)?

[Orbit]

Преди 1 час, makebulgar said:

Падат с различна скорост.. а каква е точно разликата? Примерно за чук от 2 кг и перо от 10 гр ако решим да сметнем разликата каква ще е тя (без да закръгляваме и с възможност да използваме хиляди знаци след запетаята)?

Разликата в ускоренията можем да разберем от тази формула :       

Където :

а: е търсеното ускорение.

G: гравитационната константа = 

М: масата на Земята =    кг

m: масата на тяло в случая дадено по условие.

R: разстояние м/у центровете на Земята и тялото с маса m. В случая най малкото разстояние е разстояние на радиуса на Земята =    м. (на повърхността на Земята)

Като заместим във формулата известните величини, то получаваме  :     ,  и    , то за да се види разликата трябва да отидем някъде до 22-24 знака след запетая.

Примерно : 9.8199734262246862444533602424816 m/s2  и 9.8199734262246862444533569702533 m/s2

От тези ускорения можем да сметнем и скоростите . Съответно и при скоростите ще имаме разликата която ще бъде пак някъде след 20-ия знак след запетая.

Редактирано Юли 16, 2020 от Orbit

[100$]

Преди 6 часа, Orbit said:

Разликата в ускоренията можем да разберем от тази формула :       

Където :

а: е търсеното ускорение.

G: гравитационната константа = 

М: масата на Земята =    кг

m: масата на тяло в случая дадено по условие.

R: разстояние м/у центровете на Земята и тялото с маса m. В случая най малкото разстояние е разстояние на радиуса на Земята =    м. (на повърхността на Земята)

Като заместим във формулата известните величини, то получаваме  :     ,  и    , то за да се види разликата трябва да отидем някъде до 22-24 знака след запетая.

Примерно : 9.8199734262246862444533602424816 m/s2  и 9.8199734262246862444533569702533 m/s2

От тези ускорения можем да сметнем и скоростите . Съответно и при скоростите ще имаме разликата която ще бъде пак някъде след 20-ия знанананак след запетая.

Сметките са точни. Значи ли това че инертната и гравитационната маси са равностойни.

Редактирано Юли 16, 2020 от 100$

[100$]

Преди 8 часа, Orbit said:

 

Преди 8 часа, Orbit said:

Ако ние пуснем два килограма от същата височина, то тези два килограма ще "паднат" за същото време както и един килограм (със същата скорост) , но при условие че единият килограм е останал да лежи на Земята

Тука нещо не е ясно, как ще падат 2 килограма при условие че единият от тези килограми е на земята.

 

[Orbit]

 

Преди 10 минути, 100$ said:

Тука нещо не е ясно, как ще падат 2 килограма при условие че единият от тези килограми е на земята.

Не съм се изрзаил много коректно. Става въпрос за две тела, едното с маса 2кг и второ с маса 1 кг. 

Ако ние пуснем тяло с маса два килограма от същата височина, то тези два килограма (това тяло) ще "паднат" за същото време както и тяло с маса един килограм (със същата скорост) , но при условие че тялото с маса един килограм е останал да лежи на Земята

[100$]

Преди 17 минути, Orbit said:

 

Не съм се изрзаил много коректно. Става въпрос за две тела, едното с маса 2кг и второ с маса 1 кг. 

Ако ние пуснем тяло с маса два килограма от същата височина, то тези два килограма (това тяло) ще "паднат" за същото време както и тяло с маса един килограм (със същата скорост) , но при условие че тялото с маса един килограм е останал да лежи на Земята

Значи че две падащи тела от една и съща височина, едното с маса един килограм ,другото с маса 2 килограма, ще падат с еднакво ускорение към земята, при условието че общата маса на двете тела и земята се запазва. По тази логика тогава падащо перце и чук, ще паднат с еднакво ускорение към земята, понеже масите на земята чука и перото, се запазват. 

Редактирано Юли 16, 2020 от 100$

[Orbit]

Преди 27 минути, 100$ said:

Сметките са точни. Значи ли това че инертната и гравитационната маси са равностойни.

Ами според мен точно в този конкретен случай не се изследва пряко дали инертната и гравитационната маси са равни. И отговорът на този въпрос не може да следва конкретно от тази задача. Някакви косвени разсъждения може и да доведат до равенството, но не е като да е пряко доказателство.

[Orbit]

Преди 36 минути, 100$ said:

Значи че две падащи тела от една и съща височина, едното с маса един килограм ,другото с маса 2 килограма, ще падат с еднакво ускорение към земята, при условието че общата маса на двете тела и земята се запазва. 

Да , точно така. От което се подразбира че двете тела не трябва да бъдат пускани едновременно, а едното от тях трябва да се намира на Земята. 

 

Преди 36 минути, 100$ said:

По тази логика тогава падащо перце и чук, ще паднат с еднакво ускорение към земята, понеже масите на земята чука и перото, се запазват. 

Да, точно така те ще падат с еднаква скорост, ако са пускани едно по едно, като едното от тях ще се намира на Земята. Но ако са пуснати едновременно и двете , то общата маса за двете тела и Земята не е еднаква, и те ще падат с различна скорост (това се вижда и от формулата).

Редактирано Юли 16, 2020 от Orbit

[100$]

Орбит  какво разбираш под запазване на масата , на падащи или стоящи тела масите им се запазват. Всъщност и тези тела които видимо стоят на земята всъщност и те падат заедно със падащите, към общия си гравитационен център.

Когато един килограм маса пада към земята, и земята пада също, и двете тела падат към общия масов център но с различни ускорения.

[Orbit]

Преди 2 часа, 100$ said:

Орбит  какво разбираш под запазване на масата , на падащи или стоящи тела масите им се запазват. Всъщност и тези тела които видимо стоят на земята всъщност и те падат заедно със падащите, към общия си гравитационен център.

Когато един килограм маса пада към земята, и земята пада също, и двете тела падат към общия масов център но с различни ускорения.

Ами ако се опитаме да разберем какво ни казва формулата която дадох по рано , то ще види че ако се запазва общата маса която си взаимодейства (падането) , то ускорения и скоростите ще останат непроменени. Във формулата в скобите имаме : (М+м) това са две тела които взаимодействат (падат едно към друго). Когато сумата от тяхната маса не се променя то ускорения и скоростите също не се променят. Но в същото време може да прехвърляме от едната маса към другата (10+1),(7+4),(5+6) и т.н. Масите на телата се променят, но общата маса им е еднаква. 

Формулата не работи с повече от две тела.

Когато тялото се намира на Земята , то става част от Земята и допринася за по бързото падане на друго тялото което сме пуснали да пада. Ако първото тяло го вдигнем от Земята , силата на привличане става по малка, и другото тяло ще пада с по бавна скорост. 

Аз вече писах по рано че при формулата на гравитационно взаимодействие трябва да се говори за обща скорост, обща маса и общо разстояние. Защото известната формула F=GM1M2/R2(на квадрат), не позволява да се говори за общ център и т.н. Този общ гравитационен център и различни скорости и ускорения за всяко тяло поотделно идват от друга формула : F=v2M/R. Като при тази формула се говори за скроост, маса и разстояние само за едно тяло. И тука има един тънък момент при който ние трябва много да внимаваме дали имаме право ,и как праволно да приравняваме силите при двете формули. 

Редактирано Юли 17, 2020 от Orbit

[100$]

Преди 23 минути, Orbit said:

Ами ако се опитаме да разберем какво ни казва формулата която дадох по рано , то ще види че ако се запазва общата маса която си взаимодейства (падането) , то ускорения и скоростите ще останат непроменени. Във формулата в скобите имаме : (М+м) това са две тела които взаимодействат (падат едно към друго). Когато сумата от тяхната маса не се променя то ускорения и скоростите също не се променят. Но в същото време може да прехвърляме от едната маса към другата (10+1),(7+4),(5+6) и т.н. Масите на телата се променят, но общата маса им е еднаква. 

Формулата не работи с повече от две тела.

Когато тялото се намира на Земята , то става част от Земята и допринася за по бързото падане на друго тялото което сме пуснали да пада. Ако първото тяло го вдигнем от Земята , силата на привличане става по малка, и другото тяло ще пада с по бавна скорост. 

Аз вече писах по рано че при формулата на гравитационно взаимодействие трябва да се говори за обща скорост, обща маса и общо разстояние. Защото известната формула F=GM1M2/R2(на квадрат), не позволява да се говори за общ център и т.н. Този общ гравитационен център и различни скорости и ускорения за всяко тяло поотделно идват от друга формула : F=v2M/R. Като при тази формула се говори за скроост, маса и разстояние само за едно тяло. И тука има един тънък момент при който ние трябва много да внимаваме дали имаме право ,и как праволно да приравняваме силите при двете формули. 

Свободно падащо тяло също е ечаст от общата маса на тялото и земята

[Малоум 2]

On 17.07.2020 г. at 12:35, 100$ said:

Свободно падащо тяло също е ечаст от общата маса на тялото и земята

Ето една статия, съдържаща въпроси и отговори на известното - в миналото. Но и сега съдържанието е актуално:

http://www.phys.uni-sofia.bg/~cpopov/Almanah-pdf/III chast/01 statii fizika/27 Gamov gravitaciya.pdf

Гравитация1 отДжорджГамов

...

...

[Orbit]

Преди 4 часа, Малоум 2 said:

Ето една статия, съдържаща въпроси и отговори на известното - в миналото. Но и сега съдържанието е актуално:

http://www.phys.uni-sofia.bg/~cpopov/Almanah-pdf/III chast/01 statii fizika/27 Gamov gravitaciya.pdf

Гравитация1 отДжорджГамов

...

...

Но ето че и авторът допуска грешка което се вижда от този цитат от статията :

 

Цитирай

Важното в случая е да се осъзнае, че огромната разлика между масите на двете тела3 не влияе върху валидността на сравнението. Фактически, ако поставим една ябълка на разстояние, равно на разстоянието до Луната, и й придадем скорост, равна на лунната скорост, тя ще се движи около Земята по същия начин, както и Луната. Аналогично, ако едно дърво роди ябълка, чиято маса е колкото масата на Луната, когато се откъсне от клона, тя би падала толкова бързо, колкото и обикновената ябълка. Проведеният от Нютон математичен анализ показва, че гравитационната сила намалява с квадрата от разстоянието между привличащите се тела.

Това в подчертаното е грешно, както и по нататъшни заключения за ябълката и Луната. И това лесно може да се види при коректното изчисляване . Има голяма вероятност че дори във википедията не са дадени коректни стойности .

Редактирано Юли 19, 2020 от Orbit