Безкрайно много ли са простите числа близнаци?

[xyz]

Да припомня, че прости числа близнаци се наричат двойките прости числа с разлика 2.

Все още не е доказано, дали са безкрайно много тези числа. Това което бях чувал преди време беше че е доказано че двойките от вида (p,p+2), където едното от числата е просто, а другото е или просто или се разлага като произведение на две (нечетни, разбира се) прости числа са безкрайно много. Доказателството използва дела от математиката, наречен "Аналитична теория на числата". Ако някой се е занимавал с това, то да каже...

[Иво Левичаров]

Здравейте

Така посочената задача ме заинтригува, поради което реших да помисля върху нея.

Понеже математическият анализ не е най-силната ми страна написах програмен код който открива всички числа близнаци до определена посочено число. Избрах език php понеже ми се стори най-лесният подходящ за целта.

Ето го заедно с разясненията:

$Prosti[0]=1; //////// Въвеждаме в масива с прости числа числата 1 и 2

$Prosti[1]=2;

$z=2;

for($n=3,$checked=0,$nr=0;$n<10000;$n+=2,$nr++,$checked++) ///// въвеждаме променливите n - проверяваното число започва от 3

{ ///// и се увеличава с 2 - заема нечетни стойности

$Allne4etni[$checked]=$n; ///// въвеждаме всички нечетни числа в масив

for($i=0;$i<$checked;$i++) ///// Цикъл проверяващ дали числото n при делението си на някое от

{ if(is_integer($n/$Allne4etni[$i])) ///// нечетните числа дава резултат цяло число

{$k++;}

}

if($k==0) ///// Ако "не"

{$Prosti[$z]=$n; ///// Въвежда го в масива на простите числа

$predz=$z-1; ///// Взимаме предишното получено просто число

if((($Prosti[$z])-2)==($Prosti[$predz])) ///// Проверяваме дали разликата с настоящото е 2

{ ///// Т.е. Дали са близнаци

$bliznatsi[$l]=$Prosti[$predz];

echo "&nbsp;&nbsp;($bliznatsi[$l] ";

$l++;

$bliznatsi[$l]=$Prosti[$z];

echo "$bliznatsi[$l])&nbsp;&nbsp;"; ///// Ако "Да" вкарваме ги в масива близнаци и ги показваме на екрана

}

$z++;

}

if(($nr/100)==1) //// На всеки 100 числа изкарваме резултата на нов ред

{echo "<br><br><br>";

$nr=0;}

$k=0;

}

Моя компютър се справяше с проверка на числата до 10 000 за около 2 мин, като необходимото време растеше в геометрична прогресия.

Теоретично мощна машина с достатъчно време за размисъл би намерила всички близнаци.

На практика това не е необходимо. Ето моите резултати:

(3 5) (5 7) (11 13) (17 19) (29 31) (41 43) (59 61) (71 73) (101 103) (107 109) (137 139) (149 151) (179 181) (191 193) (197 199)

(227 229) (239 241) (269 271) (281 283) (311 313) (347 349)

(419 421) (431 433) (461 463) (521 523) (569 571) (599 601)

(617 619) (641 643) (659 661)

(809 811) (821 823) (827 829) (857 859) (881 883)

(1019 1021) (1031 1033) (1049 1051) (1061 1063) (1091 1093) (1151 1153)

(1229 1231) (1277 1279) (1289 1291) (1301 1303) (1319 1321)

(1427 1429) (1451 1453) (1481 1483) (1487 1489)

(1607 1609) (1619 1621) (1667 1669) (1697 1699) (1721 1723) (1787 1789)

(1871 1873) (1877 1879) (1931 1933) (1949 1951) (1997 1999)

(2027 2029) (2081 2083) (2087 2089) (2111 2113) (2129 2131) (2141 2143)

(2237 2239) (2267 2269) (2309 2311) (2339 2341) (2381 2383)

(2549 2551) (2591 2593)

(2657 2659) (2687 2689) (2711 2713) (2729 2731) (2789 2791) (2801 2803)

(2969 2971) (2999 3001)

(3119 3121) (3167 3169)

(3251 3253) (3257 3259) (3299 3301) (3329 3331) (3359 3361) (3371 3373) (3389 3391)

(3461 3463) (3467 3469) (3527 3529) (3539 3541) (3557 3559) (3581 3583)

(3671 3673) (3767 3769)

(3821 3823) (3851 3853) (3917 3919) (3929 3931)

(4001 4003)

(4019 4021) (4049 4051) (4091 4093) (4127 4129) (4157 4159)

(4217 4219) (4229 4231) (4241 4243) (4259 4261) (4271 4273) (4337 4339)

(4421 4423) (4481 4483) (4517 4519) (4547 4549)

(4637 4639) (4649 4651) (4721 4723) (4787 4789) (4799 4801)

(4931 4933) (4967 4969)

(5009 5011) (5021 5023) (5099 5101)

(5231 5233) (5279 5281)

(5417 5419) (5441 5443) (5477 5479) (5501 5503) (5519 5521)

(5639 5641) (5651 5653) (5657 5659) (5741 5743)

(5849 5851) (5867 5869) (5879 5881)

(6089 6091) (6131 6133) (6197 6199)

(6269 6271) (6299 6301) (6359 6361)

(6449 6451) (6551 6553) (6569 6571)

(6659 6661) (6689 6691) (6701 6703) (6761 6763) (6779 6781) (6791 6793)

(6827 6829) (6869 6871) (6947 6949) (6959 6961)

(7127 7129)

(7211 7213) (7307 7309) (7331 7333) (7349 7351)

(7457 7459) (7487 7489) (7547 7549) (7559 7561) (7589 7591)

(7757 7759)

(7877 7879) (7949 7951)

(8009 8011) (8087 8089)

(8219 8221) (8231 8233) (8291 8293) (8387 8389)

(8429 8431) (8537 8539) (8597 8599)

(8627 8629)

(8819 8821) (8837 8839) (8861 8863) (8969 8971) (8999 9001)

(9011 9013) (9041 9043)

(9239 9241) (9281 9283) (9341 9343)

(9419 9421) (9431 9433) (9437 9439) (9461 9463)

(9629 9631) (9677 9679) (9719 9721) (9767 9769)

(9857 9859) (9929 9931)

Анализ на получените данни:

От - До Брой двойки близнаци

0-1000 35

1000-2000 26

2000-3000 21

3000-4000 21

4000-5000 23

5000-6000 17

6000-7000 19

7000-8000 12

8000-9000 15

9000-10000 15

Като цяло от получените данни може да се направи изводът че броят на двойките близнаци намалява относително спрямо разгледаният брой числа, което води до извода че зависимостта на броя двойки близнаци е клоняща към нула.

Това означава, че на теория в безкрайността вероятността две поредни прости числа да са близнаци клони към нула, т.е. появата им спира.

На практика, обаче в областта на числата, които човек може да си представи и използва вероятността от поява на близнаци става все по-малка, но присъства.

[scarecrow]

Математиката понякога е забавна, но все пак по принцип е сериозна наука и заслужава сериозно отношение.

Например функцията y = 1 + e^–x е намаляваща с увеличаване на х, но се съмнявам, че някога ще стане 0

[Иво Левичаров]

Явно не съм се изразил правилно. Не твърдя, че броят им някога ще стане нула, а че в безкрайността спират да се появяват нови близнаци, следователно броят им е краен

[scarecrow]

Напротив, аз добре разбрах идеята - от дадено число нататък броят на простите числа-близнаци в тези интервали от по 1000 става 0.

Само, че защо да не намалеят до две двойки в такъв интервал или до пет? Защо точно до нула?

[xyz]

Задачата за простите чила близнаци е твърде сериозна. С помощта на компютърни изчисления не може да се докаже нищо, освен да се направи някаква хипотеза или пък да се довърши някое математическо доказателство.

Относно това, което прави "Иво Левичаров" ще му кажа следното:

- В никакъв случай не използвай php - този език е ужасно бавен, т.е. напълно не става за мат. изчисления. Научи и използвай C или C++ - единствените езици подходящи за целта.

- Едно правило в математиката е да считаш математиците за много умни, които са направили много. В твоето изследване ти правиш това, което почти всеки математик-програмист ще направи като начало. А такива има десетки хиляди. Т.е. измисли някаква доста по-оригинална идея.

- Изводът ти, че клонят към нула си е нещо доста нематематическо. Може да клони към нула само реално число, а не бройка. Това че стават все по-малко си е вярно дори и за простите числа (ако не вярваш провери пак с изчисления), но простите числа са безкрайно много.

Подобни задачи много рядко може човек да ги атакува от "нулата". По принцип започва да чете някаква област от математиката и по едно време - хоп "му светва" че наученото и направеното от него може да се опита за даден математически проблем.

Относно простите числа, то един базисен резултат е следната формула на Ойлер:

http://upload.wikimedia.org/math/e/7/5/e75...b364703be70.png

Ако простите числа са краен брой, то отдясно ще имаме крайно число (защото сумата в скобите лесно се вижда че е 1/(p-1)). Но отляво пък имаме сума, която клони към безкрайност (пак се вижда лесно:

1 +1/2 +(1/3+1/4) +(1/5 +1/6 +1/7 +1/8) +... > 1 +1/2+(1/4+1/4)+(1/8 +1/8 +1/8 +1/8)+... = 1+1/2+1/2+1/2+1/2+...=безкрайност

). Така получаваме противоречие. Следователно безкрайните числа са безкрайно много.

Да отбележим, че при по-горното доказателство нещата бяха описани наистина свободно, но пък интуитивно всичко е ясно. При компютърните изчисления, които даваш, вообще не е ясно дали нещата ще се запазят така както е в началото. Може пък в безкрайност нещата да се обърнат...