14 март - ден на числото Пи (3,14...)

[ISTORIK]

Денят на числото ПИ бе отбелязан в зала „Палавееви" в Британския съвет в столицата от 11.30 часа.

Френски програмист установи нов световен рекорд в точността на числото Пи (отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър, което в съкратен вариант е познато като 3,14), предаде TechNews.bg.Фабрис Белар е успял да изчисли математическата константа с точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, като за целта е ползвал компютър с цена под 2000 евро, съобщи bellard.org.

Предишните рекорди бяха постигани с помощта на суперкомпютри, струващи по няколко милиона долара.

Така например, през август 2009 година, за целта беше използван клъстер от 640 компютъра за изчисляване на Пи с точност 2576980370000 десетични цифри.

Компютърът на Фабрис Белар работи под управление на 64-битова версия на Red Hat Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0.

По време на изчисленията е използвана файлова система ext4, в която се е работило с файлове с размер до 2.5 TB. Резултатът от изчисленията в десетична форма заема 1137 GB.

Основната част от изчисленията е извършвана по формулата на Чудновски и е отнела 103 дни. След това резултатите са били проверявани, преобразувани от двоичен в десетичен формат и отново проверявани.

Повече за това число можете да прочетете тук:

http://bgnauka.com/index.php?mod=front&fnc=pub_page&pid=11004

[Little Bad Girl]

Ден на пи също е 22 юли (22/7)

[Gravity]

Ден на пи също е 22 юли (22/7)

Само приблизително.

[mitaca]

Обаче става за не прецизни сметки .

[Малоум 2]

Малко по-нова информация за ..."пи-цяло и 14":

https://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Deniat-na-pi-3-14-e-poveche-ot-parche-paj_40749.html

Денят на "пи": 3.14 е повече от парче пай

Визуализация на първите 10000 цифри на числото "пи". Снимка

Днес се отбелязва Световния ден на числото "пи". 

Денят, в който се чества най-старата математическата константа, е 14 март или 3.14 по американския модел на календарен запис месец/ден. 

Може да се каже, че това е празник на математиката и най-често се празнува с печене на голям брой пайове.

Но "пи" не е само парче пай

Пи (π) е едно от най-важните и интересни числа в математиката. Съотношението на дължината на окръжността към нейния диаметър е еднакво за всички окръжности. Това съотношение се означава с гръцката буква π, която е първата буква от гръцката дума περιμετροη, която означава "окръжност").

Историята на неговото изчисляване започва преди повече от 2 хиляди години, а точността на изчисление варира от 256/81 до 339/108 в древен Египет и в индийските свещени книги Ведите.

• Архимед изчислява съотношението на дължината на окръжността към диаметъра на дължина или числото π и установява, че е между 3 10/71 и 3 1/7.
• Дълго време като приблизителна стойност се е използвала 22/7, макар че е открито в Китай още през V век едно по-добро приближение 355/113 = 3.1415929 , което е преоткрито в Европа едва през XVI век. 
• През 1579 г. френският математик Франсоа Виет изчислява "пи" до 9 знака.
• Холандският математик Лудолф Ван Цейлен през 1596 г. публикува резултата на своя десетилетен труд – числото "пи", изчислено с 32 знака. И затова преди години числото "пи" е наричано "лудолфово число".

Но всички тези изчисления са правени по методите, посочени от Архимед - кръга се заменя с многоъгълник с нарастващ брой страни. Периметърът на вписания многоъгълник по този начин е по-малък от обиколката на кръга, а периметъра на описания многоъгълник - по-голям.

Едва през 1767 г. немският математик Ламберт доказва, че числото π е ирационално.

А след още сто години през 1882 г. друг немски математик, Ф. Линдеман, доказва неговата трансцендентност, което означава, че е невъзможно да се построи с помощта на пергел и линийка квадрат с равна площ на дадена окръжност.

 

Случайни ли са цифрите на "пи"?

Още от зората на математиката хората се питат дали цифрите на числото π (= 3.1415926535 ...) са "случайни" - от Архимед до компютърната ера в наши дни. Сегашният рекорд от 10 трилиона цифри след десетичната точка се държи от Александър Йе (Alexander Yee) и Шигуро Кондо (Shiguro Kondo). Преди време бе разпространен един мем за π, който твърди, наред с други неща:

"Пи" е безкрайно неповтарящо се десетично число, което означава, че всяка възможна комбинация на числа съществува някъде в π. Превърнато в ASCII текст, някъде в тази безкрайна поредица от цифри е името на всеки човек, който някога сте обичали, датата, часа и начина на смъртта ви и отговорите на всички големи въпроси на Вселената.

Дали това наистина е вярно? Дали цифрите на π наистина са "случайни"? Дали всяка възможна поредица от цифри в крайна сметка се появява някъде в безкрайната десетична редица на π? Отговорът бе неясен.

След като векове математиците си блъскат главите над този проблем, може би, най-накрая има напредък. Първият голям пробив става през 1996 г., когато Дейвид Бейли (David Bailey), Питър Борвайн (Peter Borwein) и Саймън Плуф (Simon Plouffe) откриват тази невероятна нова формула:

Това е вълнуващо не само защото формулата е нова, но и защото тя дава възможност за лесно изчисление на всяка изолирана шестнадесетична или двоична цифра на π , без да е необходимо да се изчисли всяка от предходните цифри. Постигнато е това, което по-рано се смяташе за невъзможно. (За информация как работи формулата, поместваме готов код на езика на C, изчисляваща 1000000-ия знак в края на статията.)

И макар резултатът да не позволява изчисление в по-познатите ни десетични цифри, формулата изглежда добавя още доказателства, че цифрите на π са случайни. "Ако може да се получат лесно цифрите по този начин, то тогава това е силно доказателство, че цифрите са независими", заяви Борвайн.

Това доказва, че всяка последователност от цифри има равен шанс да се появи в цифрите на π в една и съща дължина последователности. Това е т. нар. свойство нормалност.

"В познатата десетична бройна система на основа 10, всяка една цифра на нормално число се появява в една десета от случаите, а всяко двуцифрена комбинация възниква на всеки един случай на сто и така нататък", обяснява Бейли. "Това е като безкрайно хвърляне на честен десестенен зар и да се преброи колко често се появява всяка страна или комбинация от страни". "Пи" със сигурност изглежда се държи по този начин, поне за първите 10 млрд. десетични цифри. Досега известните цифри от π преминаха всеки статистически тест за нормалност, а което значи и на случайността.

Първите 1000 знака на "пи". Източник: Wikiwan

Тук трябва да си изясним какво се има предвид под "случайни". Ясно е, че "пи" не е "случайно" число в тесния смисъл на думата, защото отделните цифри със сигурност не случайни, а математически определени точно. Под "случайност" се разбира математическия термин "нормалност".

Намесва се Хаосът

Въпреки това, нормалността е изключително трудно да се докаже. Всъщност, въпреки че математиците смятат, че повечето математически константи са нормални - - те досега не го доказаха за нито една от тях. Вместо това, Бейли и Ричард Крандел (Richard Crandell), неочаквано успяха да свържат нормалността с привидно несвързаната област на хаотичните динамични системи. "Аз не съм наясно каква е връзката между теорията на хаоса и теорията на числата", заяви Бейли. "Едното поле възниква от изчислителната физика, а другото е най-чистата от чистата математика".

През последните години за решаване на проблема са впрегнати някои сложни нови инструменти и вече се появиха обещаващи резултати. Така например в книгата "Разходки с реални числа" (Walking on real numbers) на Борвайн и Франциско Арагон Артачо (Francisco J. Aragon Artacho) се анализират цифрите на математическите константи се представят като случайна разходка. Например, един число, изразено на основа 4 ( т.е. използват се цифрите 0, 1, 2 и 3) може да се визуализира, като се започне от дадена точка, движейки се в полето с една единица ход надясно за 0, една единица нагоре за 1, наляво с една единица за 2 или надолу с една единица за 3, като това продължава за толкова цифри, колкото може да се изчисли.

Когато пи в 4-ната система се нанесе по това правило, се получава тази поразително красива картина:

 

Тази разпечатка е напълно аналогична на тази от поредица цифри, генерирани от генератор на псевдослучайни числа:

Псевдослучайният генератор на числа използване на изчислителни алгоритми, които връщат като резултат дълги поредици от очевидно случайни числа, които всъщност са напълно определени от друга по-кратка начална стойност или ключ. По този начин една и съща последователност от числа може да бъде възпроизвеждана неограничен брой път, ако се знае началната стойност, която определя алгоритъма.

Точно същият случай имаме при изчисляването на числото "пи".

Така че, с други думи, от тези резултати излиза, че хипотезата, че "пи" е определено "нормално" е правдоподобна.

Но нямаме доказателства. Дали този проблем завинаги ще остане, въпреки яростната атака на световната армия компютърно грамотни математици?

Дотогава ще им се наложи да изядат още много пай.

Източници:

Pi not a piece of cake

Are the Digits of Pi Random?

Вычисление N-го знака числа Пи без вычисления предыдущих

 

...

...

[Малоум 2]

И в математиката е открит неразрешим (на практика) парадокс?!:

https://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Mistikata-na-matematikata-5-krasivi-matematicheski-fenomena_179098.html

Мистиката на математиката: 5 красиви математически феномена

Фракталите - модели, които се повтарят в по-малки мащаби - могат да се видят често в природата, като в снежинките. Кредит: Unsplash.

Математиката е видима навсякъде в природата, дори там, където не я очакваме. Това може да помогне да се обясни начина, по който галактиките се оформят спираловидно, кривите на раковината и реките се извиват.

Дори субективните емоции, като това, което намираме за красиво, могат да имат математически обяснения.

„Не само математиката изглежда красива – красотата е и математическа. Двете са преплетени“, отбелязва д-р Томас Бриц (Thomas Britz), преподавател във факултета по математика и статистика на Университета на Нов Южен Уелс, Сидни, Австралия.

Д-р Бриц работи в областта на комбинаториката, клон на математиката, посветен на решаването на задачи, свързани с избора и подреждането на елементи от определено (най-често крайно) множество в съответствие с дадени правила. Докато комбинаториката е в рамките на чистата математика, д-р Бриц винаги е бил привлечен от философските въпроси за математиката.

Той също така намира красота в математическия процес.

„От лична гледна точка математиката е наистина забавна. Обичам я още от малък.

„Понякога красотата и удоволствието от математиката са в концепциите, понякога - в резултатите, понякога - в обясненията. Друг път мисловните процеси карат ума ви да се обърка по хубав начин, емоциите, които получавате, или просто да работите увлечени - като да потънете в хубава книга."

Тук д-р Бриц споделя някои от любимите си връзки между математиката и красотата.

1. Симетрия - но с нотка на изненада

През 2018 г. д-р Бриц изнася за TEDx лекция за математиката на емоциите, където използва последните проучвания върху математиката и емоциите, за да се докосне до това как математиката може да помогне за обяснението на емоциите, като красотата.

_{Симетрията е навсякъде, където погледнете. Кредит: Unsplash}

„Нашият мозък ни възнаграждава, когато разпознаваме закономерности (патерни) или виждаме симетрия, организираме на части от едно цяло или решаваме пъзели“, коментира д-р Бриц.

"Когато забележим нещо, което се отклонява от закономерностите - когато има докосване на неочакваното - нашите мозъци ни възнаграждават отново. Изпитваме наслада и вълнение."

Например, хората възприемат симетричните лица като красиви. Но особеноест, която нарушава симетрията по малък, интересен или изненадващ начин - като бенка - добавя към красотата.

„Същата идея може да се види в музиката“, обяснява д-р Бриц. „Моделираните и подредени звуци с нотка на изненада могат да добавят индивидуалност, чар и дълбочина.“

Много математически концепции показват подобна хармония между закономерност и изненада, елегантност и хаос, истина и загадка.

„Преплитането на математика и красота само по себе си е красиво за мен“, отбелязва д-р Бриц.

2. Фрактали: безкрайни и призрачни

Фракталите са модели (патерни), които се повтарят до известна степен в по-малки мащаби. Колкото по-отблизо се вглеждаме, толкова повече повторения ще видим - като листата на папрат.

„Тези повтарящи се модели са навсякъде в природата“, разказва д-р Бриц. „В снежинки, речни мрежи, цветя, дървета, светкавици – дори в кръвоносните ни съдове.

Фракталите в природата често могат да се репликират само от няколко степени, но теоретичните фрактали могат да бъдат безкрайни. Много компютърно генерирани симулации са създадени като модели на безкрайни фрактали.

Триъгълникът (решетката, салфетката) на Серпински е измислен от полския математик Вацлав Франциск Серпински през 1915г. Серпински е учен с изключителен принос към теорията на множествата, теорията на числата, теорията на функциите и топологията. Тази анимация показва ясно точното самоподобие в този фрактал - триъгълника на Серпински

 

„Можете да продължите да се фокусирате върху фрактал, но никога няма да стигнете до края му“, обяснява д-р Бриц.

„Фракталите са безкрайно дълбоки. Те също така са безкрайно призрачни.

„Може да имате цяла страница, пълна с фрактали, но общата площ, която сте начертали, все още е нула, защото това е просто куп безкрайни линии.“

 

 

^{Сетът на Манделброт е може би най-известният компютърно генериран фрактал. Увеличаването ще разкрие точно същото изображение в по-малък мащаб – шеметен и хипнотичен безкраен цикъл.} 

3. Пи: непознаваема истина

Пи (или „π“) е число, което често се научава за първи път в геометрията в гимназията. Най-просто казано, това е число малко повече от 3 или около 3.14.

Пи се използва най-вече при работа с окръжности като например изчисляване на обиколката на кръг с помощта само на неговия диаметър.

Но π е много повече от това.

„Когато се вгледате в други аспекти на природата, изведнъж ще откриете π навсякъде“, разказва д-р Бриц. „Не само, че е свързан с всеки кръг, но и π понякога се появява във формули, които нямат нищо общо с кръговете, като вероятността и математическия анализ.“

Въпреки че е най-известното число (Международният ден на Пи се провежда ежегодно на 14 март, 3.14 в американския начин на изписване на датите), около него има много мистерия.

„Ние знаем много за π, но всъщност нищо не знаем за π“, коментира д-р Бриц.

"Има красота в това - красива дихотомия или напрежение."

_{Пи е свързано с океана и звуковите вълни чрез реда на Фурие, формула, използвана в ритмите и циклите. Кредит: Unsplash}

Пи е безкрайно и по дефиниция непознаваемо. Все още не е идентифицирана закономерност след десетичната запетая. Разбираемо е, че всяка комбинация от числа, като вашия телефонен номер или рожден ден, ще се появи някъде в π (можете да търсите това чрез онлайн инструмент за търсене на първите 200 милиона цифри).

В момента знаем 50 трилиона цифри на π, рекорд, счупен по-рано през 2020 г.Но тъй като не можем да изчислим точната стойност на π , никога не можем да изчислим напълно обиколката или площта на кръга - въпреки че можем да се приближим.

"Какво става тук?", коментира д-р Бриц. „Какво има в това странно число, което по някакъв начин свързва всички кръгове по света?

"Има някаква загадка в основата на π, която не разбираме. Тази мистика го прави още по-красиво."

4. Златно и древно съотношение

Златното съотношение (или „ϕ“) е може би най-популярната математическа теорема за красотата. Счита се за най-естетически приятен начин за пропорция на обект.

Съотношението може да бъде съкратено приблизително до 1,618. Когато се представи геометрично, съотношението създава Златния правоъгълник или Златната спирала.

„През цялата история съотношението се е третирало като еталон за идеалната форма, независимо дали в архитектурата, произведенията на изкуството или човешкото тяло“, разказва д-р Бриц. „Наричано е „Божествена пропорция“.

_{Златната спирала често се използва във фотографията, за да помогне на фотографите да рамкират изображението по естетически приятен начин. Кредит: Видео - ръководство за фотографи.}

"Много известни произведения на изкуството, включително на Леонардо да Винчи, се основават на това съотношение."

Златната спирала се използва често днес, особено в изкуството, дизайна и фотографията. Центърът на спиралата може да помогне на художниците да рамкират фокусните точки на изображението по естетически приятни начини.

5. Парадокс, по-близък до магията

Непознаваемата природа на математиката може да изглежда по-близо до магията.

Известна геометрична теорема, наречена парадоксът на Банах-Тарски, казва, че ако имате топка в 3D пространство и я разделите на няколко конкретни части, има начин да съберете отново частите, така че да създадете две топки.

„Това вече е интересно, но става още по-странно“, отбелязва д-р Бриц.

„Когато двете нови топки бъдат създадени, и двете могат да бъдат със същия размер като първата топка.“

Математически казано, тази теорема работи - възможно е да се сглобят отново парчетата по начин, който удвоява топките.

^{Илюстрация на парадокса на Банах-Тарски. Кредит: Wikimedia Commons}

Този парадокс често се описва неофициално като „грахово зърно може да бъде нарязано и сглобено отново като Слънцето“.

Теоремата се нарича парадокс, защото противоречи на базовата геометрична интуиция. „Удвояването на кълбо“ чрез разделянето му на части и сглобяването им чрез завъртания и премествания, без никакво разтягане, огъване или добавяне на нови точки, изглежда невъзможно, тъй като всички тези операции трябва, интуитивно, да запазят обема. Интуицията, че подобни операции запазват обема, не е математически абсурдна и дори е включена във формалната дефиниция на обемите. Това обаче не е приложимо тук, тъй като в този случай е невъзможно да се дефинират обемите на разглежданите подмножества. Повторното им сглобяване възпроизвежда набор, който има обем, който се оказва различен от обема в началото.

Удвояването на кълбо, въпреки че изглежда много съмнително от гледна точка на интуицията (всъщност не може да направите два от един портокал с помощта на нож), въпреки това не е парадокс в логическия смисъл на думата, тъй като това не води до логическо противоречие, подобно на това как така нареченият парадокс на бръснаря (Парадокс на Ръсел) води до логическо противоречие.

_{Удвояването на топки е невъзможно - нали? Кредит: Unsplash}

„Не можете да направите това в реалния живот“, казва д-р Бриц. „Но можете да го направите математически.

"Това е нещо като магия. Това е магия."

Фракталите, парадоксът на Банах-Тарски и π са само повърхността на математическите понятия, в които има красота.

„За да усетите много красиви части от математиката, имате нужда от много основни познания“, обяснява д-р Бриц. „Имате нужда от много основни - и често много скучни - тренировки. Това е малко като да направите милион лицеви опори, преди да упражнявате спорт.

"Но си заслужава. Надявам се, че повече хора ще стигнат до забавната част от математиката. Има толкова много повече красота за разкриване."

Източник: The mystique of mathematics: 5 beautiful math phenomena
Sherry Landow, University of New South Wales

...

...(в статията има и видео)